Question

cubo de um binomio de(x+y)³​

Answer 1

Olá!

Para calcular o cubo da soma, podemos usar dois métodos:

• calcular a forma expandida da expressão.

• usar o Teorema do Binômio.

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Expandindo a expressão:

→ Para expandir uma potência, apenas multiplicamos a base por ela mesma segundo o expoente.

$\sf (x + y)^3$

$\sf (x + y)(x + y)(x + y)$

→ Agora podemos aplicar a propriedade distributiva e simplificar o produto.

$\sf (x + y)(x + y)(x + y)$

$\sf = (x^2 + 2xy + y^2)(x + y)$

$\sf = x^3 + 2x^2 y + xy^2 + x^2 y + 2xy^2 + y^3$

$\sf = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3$

$\fbox{\fbox{ \sf \therefore (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 }}$

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Aplicando o Teorema do Binômio:

→ Podemos calcular qualquer potência da soma de dois termos a partir do teorema de Newton (ou teorema binomial).

$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} a^{n - k} b^k$

Essa fórmula basicamente diz que nós podemos usar os números da linha (n + 1) do Triângulo de Pascal como os coeficientes dos termos e podemos diminuir o expoente do primeiro termo enquanto aumentamos o do segundo, até que $n - k = 0$.

$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n {n \choose k} a^{n - k} b^k$

$(x + y)^3 = \sum_{k = 0}^3 {3 \choose k} x^{3 - k} y^k$

$= {3 \choose 0} x^{3 - 0} y^0 + {3 \choose 1} x^{3 - 1} y^1 + {3 \choose 2} x^{3 - 2} y^2 + {3 \choose 3} x^{3 - 3} y^3$

$= x^3 + 3 x^2 y + 3 xy^2 + y^3$

$\fbox{\fbox{ \therefore (x + y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 }}$

Chegamos ao mesmo resultado.

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Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)