Question

Resolva:
$d/dt (\int\limits^a_b {sen^{2}x } } \, dx)$
OBS.: O intervalo da integral de a até b é de -t até 2t, mas não não consegui editar. AIntegral vai de -t até 2t

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{2\sin^2(2t)+\sin^2(t)}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

De acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\dfrac{d}{dx}\int_0^xf(x)\,dx=f(x)$.

Isto se aplica a quaisquer limites de integração, de forma que devemos aplicar a regra da cadeia ao realizarmos este cálculo.

Uma outra forma de chegarmos ao resultado correto é calculando a integral e, logo após, calcularmos a derivada.

Devemos calcular:

$\dfrac{d}{dt}\displaystyle{\int_{-t}^{2t}\sin^2(x)\,dx$

Aplique a regra enunciada anteriormente

$\dfrac{d}{dt}(2t)\cdot \sin^2(2t)-\dfrac{d}{dt}(-t)\cdot\sin^2(-t)$

Calcule as derivadas e lembre-se que a função seno tem paridade ímpar, de forma que $\sin^2(-x)=(\sin(-x))^2=(-\sin(x))^2=\sin^2(x)$.

$2\cdot \sin^2(2t)-(-1)\cdot\sin^2(t)$

Multiplique os valores

$2\sin^2(2t)+\sin^2(t)$

Este é o resultado que buscávamos.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vamos começar integrando $sin^2x$:

$\int\limits^{2t}_{-t} {sin^2x} \, dx = \int\limits^{2t}_{-t} {\frac{1-cos(2x)}{2}} \, dx$

Podemos agr separar a integral em duas:

$\int\limits^{2t}_{-t} {\frac{1}{2}} \, dx -\int\limits^{2t}_{-t} {\frac{cos(2x)}{2}} \, dx$

integrando agr cada uma:

$\frac{x}{2} -\frac{sin(2x)}{4}$ , aplicando o teorema fundamental do cálculo:

$(\frac{2t}{2} -\frac{sin(4t)}{4})-(\frac{-t}{2} -\frac{sin(-2t)}{4})=\frac{3t}{2} -\frac{sin(4t)}{4}-\frac{sin(-2t)}{4}$

Agora basta integrar esse ultimo resultado, usando regra da cadeia nos senos:

$\frac{3}{2} -cos(4t)-\frac{cos(-2t)}{2}$

espero ter ajudado, qualquer dúvida ou se tiver algum erro avise!