Question

A soma do sexto ao décimo primeiro termo de uma progressão geométrica é 5. A soma do décimo ao décimo quinto vale 1280. A razão dessa PG é:

Answer 1

Uma outra forma de resolver é escrever os termos de uma forma particular. Tu sabe que:

$a_8 = a_6.q^2; \ a_8 = a_7.q \\ a_9 = a_8.q; \ a_{10} = a_8.q^2; \ a_{11} = a_8.q^3$

Daí:

$a_6 +a_7 + a_8+ a_9+ a_{10}+a_{11} = 5 \\ \\ \frac{a_8}{q^2} + \frac{a_8}{q}+a_8+a_8.q + a_8.q^2 + a_8.q^3 = 5 \\ \\ a_8 \left( \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q} + 1+q+q^2+q^3 \right) = 5 \\ \\ \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q}+1+q+q^2+q^3 = \frac{5}{a_8} \hspace{0,3mm}*$

De modo parecido, escrevendo todos os $a_{10} \ \mathrm{at\'{e} \ o} \ a_{15}$ em função do $a_{12}$, temos que:

$a_{12} \left( \frac{1}{q^2} + \frac{1}{q}+1+q+q^2+q^3 \right) = 1280$

Substituindo a expressão * na igualdade acima temos:

$a_{12}.\frac{5}{a_8} = 1280$

Pela fórmula do termo geral tu encontra que $a_{12} = a_{8}.q^4$. Substituindo isso na expressão acima temos:

$a_8.q^4.\frac{5}{a_8} = 1280 \Rightarrow q^4= \frac{1280}{5} \\ \\ q^4 = 256 \Rightarrow q= \pm \sqrt[4]{256} \Rightarrow \boxed{\boxed{q= \pm 4}}$