Question

{(x+1)^3 -1} / {(x-1)^3 +1} > 1
eu cheguei na conclusão
(6x^2)/{x(x^2-3x+3)} ou seja, x não pertence aos números reais, só que na resposta está x>0. alguém me ajuda.

Answer 1

Olá Felipe!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{S = \left ] 0, \infty \right [}}$

Explicação passo-a-passo:

Diante da conclusão que chegaste, posso afirmar que sabes solucionar uma desigualdade. A conclusão para fechar o exercício é apenas um detalhe, como poderá notar. Mas antes, irei expor o desenvolvimento...

$\displaystyle \\ \mathsf{\frac{(x + 1)^3 - 1}{(x - 1)^3 + 1} > 1} \\\\\\ \mathsf{\frac{(x + 1)^3 - 1}{(x - 1)^3 + 1} - 1 > 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{(x + 1)^3 - 1 - (x - 1)^3 - 1}{(x - 1)^3 + 1} > 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1 - 1 - (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) - 1}{x^3 - 3x^2 + 3x - 1 + 1} > 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{6x^2}{x^3 - 3x^2 + 3x} > 0} \\\\\\ \mathsf{\frac{6x^2}{x(x^2 - 3x + 3)} > 0}$

Observe, atentamente, que o numerador da inequação será sempre positivo, $\mathtt{\forall \, x \in \mathbb{R}}$. Dito isto, a grosso modo, podemos desconsiderá-lo, afinal, não irá alterar o símbolo da desigualdade.

Com efeito, devemos estudar o sinal da expressão que figura no denominador. Segue,

CONDIÇÃO I: $\mathtt{x > 0}$

Ou seja, $\mathtt{S_I = \left \{ x \in \mathbb{R} / x > 0 \right \}}$

CONDIÇÃO II: $\mathtt{x^2 - 3x + 3 > 0}$

Resolvendo a equação $\mathtt{x^2 - 3x + 3 = 0}$ constata-se que o valor de seu discriminante é menor que zero. Com isso, tiramos que a curva dessa equação (parábola) não intersecta o eixo Ox, assim, uma vez que sua concavidade é voltada para cima, temos que não assume valores negativos. Logo, $\boxed{\boxed{\mathtt{S = \left \{ x \in \mathbb{R} / x > 0 \right \}}}}$