Question

mostrar que se u e v são vetores, tal que u+v é ortogonal a u-v,então |u|=|v|.

Answer 1

Seja u=(x,y,z) e v=(a,b,c)
temos que u+v é ortogonal a u-v, pela condição de ortogonalidade, temos que: <u+v, u-v>=0, então:
u+v=(x+a, y+b, z+c)
u-v=(x-a, y-b, z-c)

e <u+v, u-v>=0, logo:
(x+a)(x-a)+(y+b)(y-b)+(z+c)(z-c)=0⇒
x²-a²+y²-b²+z²-c²=0⇒
x²+y²+z²=a²+b²+c²   (I)

Queremos mostrar que SE u+v é ortogonal a u-v ENTÃO |u|=|v|.
Temos que:
|u|=√x²+y²+z²
|v|=√a²+b²+c²

Agora suponhamos |u|=|v|, teremos então:
√x²+y²+z²=√a²+b²+c²
Elevando os dois lados ao quadrado:
x²+y²+z²=a²+b²+c²

De (I) temos que nossa suposição está correta, pois, se u+v é ortogonal a u-v então |u|=|v|