Question

Considerando a equação y = x² – 5x + 4, calcule suas raízes, ache o vértice e descreva qual será a

concavidade da parábola.

A) x1 = 2; x2 = 3; Xv = 5/3 e Yv = – 7/4

B) x1 = –2; x2 = – 4; Xv = – 5/2 e Yv = 9/4

C) x1 = 3; x2 = 5; Xv = 7/2 e Yv = 5/4

D) x1 = –1; x2 = – 9; Xv = – 1/2 e Yv = 7/4

E) x1 = 1; x2 = 4; Xv = 5/2 e Yv = – 9/4
​

Answer 1

Não sei se é para resolver por equação do 2º grau ou por Geometria analítica.. então vou resolver das duas formas.

1º Por equação do 2º grau :

$y =x^2-5x+4$

$\displaystyle x = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.1.4}}{2.1} \to x = \frac{5\pm\sqrt{9}}{2}$

$\displaystyle x = \frac{5\pm3}{2} \\raizes : \\ \fbox {x_1 = 1 } \ e \ \fbox{x_2=4 }$

Vértice :

$\displaystyle X_v = \frac{-b}{2a} \to X_v = \frac{-(-5)}{2.1} \to \fbox{\displaystyle X_v = \frac{5}{2} }$

$\displaystyle Y_v = \frac{-\Delta}{4.a} \to Y_v = \frac{-9}{4.1} \to \fbox{\displaystyle Y_v = \frac{-9}{4} }$

Letra E

2º Por geometria analítica :

$Y = x^2-5x+4$

raízes :

$\displaystyle x = \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4.1.4}}{2.1} \to x = \frac{5\pm\sqrt{9}}{2}$

$\fbox{x_1 = 1 } \ e \ \fbox{x_2 = 4 }$

Vértice:

sabendo que a equação de uma parábola com concavidade voltada para cima é do tipo :

$(Y-Y_v) = 2.p.(X-X_v)^2$

onde :

$X_v \ e \ Y_v =$ coordenadas dos vértices

p = parâmetro

Vamos lá então !

completando quadrados, vamos somar a² dos dois lados :

$Y +a^2= x^2-5.x+4+a^2$

sabendo que :

$(x-a)^2 = x^2 -2.a.x + a^2$

então :

$\displaystyle 2.a.x = 5.x \to a = \frac{5}{2}$

Logo :

$\displaystyle Y + (\frac{5}{2})^2 = (x-\frac{5}{2})^2 + 4$

$\displaystyle Y + \frac{25}{4}-4 = (x-\frac{5}{2})^2$

$\displaystyle Y+\frac{9}{4} = 1.(X-\frac{5}{2})^2$

Portanto :

$\displaystyle X_v = \frac{5}{2} \ e \ Y_v = \frac{-9}{4}$

Letra E