Question

Calculem x e y sabendo que a sequência (x, y, 9) é uma PA e a sequência (x, y, 12) é uma PG
crescente, ou seja 3 > 2 > 1.

12​

Answer 1

Vamos relembrar algumas coisas legais de PA e PG

1º )  Seja uma P.A (a,b,c), então podemos escrever uma relação.

Relação importante : a média aritmética dos extremos é igual ao termo do central.

$\displaystyle \frac{a+c}{2} = b$

2º) Seja uma P.G ( d,e,f ) então podemos escrever uma relação.

Relação importante : O produto dos extremos é igual ao quadrado do termo central.

$\displaystyle d.f = e^2$

Sabendo disso, vamos para a questão.

$P.A \to (x,y,9) \ e \ P.G \to (x,y,12)$

vamos usar a relação da P.A :

$\displaystyle \frac{x+9}{2} = y$

agora vamos usar a relação da P.G :

$\displaystyle x.12 = y^2$

Vamos substituir o y da relação da P.A na relação da P.G

$\displaystyle 12.x = \frac{(x+9)^2}{2^2}$

desenvolvendo :

$x^2+18x+81 = 12.x.4$

$x^2+18x+81 - 48x = 0$

$x^2-30x+81 = 0$

bhaskara :

$\displaystyle x = \frac{-(-30) \pm \sqrt{(-30)^2-4.1.81}}{2.1} \to x = \frac{30\pm \sqrt{900-324}}{2} \to x = \frac{30\pm\sqrt{576}}{2}$

$\displaystyle = \frac{30\pm24}{2} \to \fbox{x=3} \ ou \ \fbox{x=27}$

substituindo x = 27 em x.12 = y²

$27.12 = y^2 \to y = \sqrt{324 } \to y = 18$

A questão diz que (x,y,12) é crescente, logo x<y.  então x = 27 NÂO É SOLUÇÃO

Substituindo x = 3 em x.12 = y²

$3.12 = y^2 \to y = \sqrt{36} \to y = 6$

Portanto :

X = 3 e Y = 6