Question

Derivada f(x) = 4^√(3x^3 + 2x)
isto é raiz quarta

Answer 1

Resposta:

f(x)=3

f é uma função constante, pois para qualquer valor que a variável x assumir o valor de f(x) sempre será 3, portanto:

\frac{df}{dx}=0 \ \ \ ou \ \ \ f'(x) = 0

dx

df

=0 ou f

′

(x)=0

Já a função g(x) = √(x + 2), é uma função composta. Podemos reescrever g como g(x)=(x+2)^{ \frac{1}{2} }g(x)=(x+2)

2

1

, chamando x + 2 = u

\begin{gathered}g=u ^{\frac{1}{2}} \\ \\ \frac{dg}{dx}= \frac{dg}{du}\cdot \frac{du}{dx}\Rightarrow \frac{dg}{dx}= \frac{d}{du}u^{ \frac{1}{2} }\cdot \frac{d}{dx}(x+2) \Rightarrow \frac{dg}{dx}= \frac{1}{2}\cdot u^{ -\frac{1}{2} }\cdot1\end{gathered}

g=u

2

1

dx

dg

=

du

dg

⋅

dx

du

⇒

dx

dg

=

du

d

u

2

1

⋅

dx

d

(x+2)⇒

dx

dg

=

2

1

⋅u

−

2

1

⋅1

\frac{dg}{dx}= \frac{1}{2(x+2)^{ \frac{1}{2} }}= \frac{1}{2 \sqrt{x+2} }

dx

dg

=

2(x+2)

2

1

1

=

2

x+2

1

Ou tu pode deixar toda essa notação chata pá carai e lembrar que:

\begin{gathered}\frac{d}{dx}[f(x)]^{n} =n\cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)\\ \\ \frac{d}{dx} f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x) \\ f(x)= \sqrt{x} \ \ \ \ g(x)=x+2\\ \\ f(g(x))= \sqrt{x+2}=(x+2)^{ \frac{1}{2} } \\ \\ \frac{d}{dx}f(g(x))= \frac{1}{2}\cdot(x+2)^{-\frac{1}{2}}\cdot 1= \frac{1}{2 \sqrt{x+2} }\end{gathered}

dx

d

[f(x)]

n

=n⋅[f(x)]

n−1

⋅f

′

(x)

dx

d

f(g(x))=f

′

(g(x))⋅g

′

(x)

f(x)=

x

g(x)=x+2

f(g(x))=

x+2

=(x+2)

2

1

dx

d

f(g(x))=

2

1

⋅(x+2)

−

2

1

⋅1=

2

x+2

1

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

da forma apresentada parece

tratar-se da derivada tipo  f(x) = a^(u)

onde f'(x) ⇒ a^(u)ln(a)u'

então

f(x) = 4^[√(3x³ + 2x)] ou 4^[(3x³ + 2x)]^1/2]

f'(x) = 4^[√(3x³ + 2x)][ln(4)][1/2[9x² + 2]^(-1/2)

f'(x) = 4^[√(3x³ + 2x)]ln(4)/2√(9x² + 2)

entretanto como autor informa "isto é raiz quarta"

a proposta ficaria

f(x) = (3x³ + 2x)^1/4

portanto função tipo f(x) = u^n ⇒ f'(x) = nu'^(n- 1)

f'(x) =1/4(9x² + 2)^(1/4 - 1)

f'(x) = 1/4(9x² + 2)^(-3/4)

f'(x) = 1/[4(9x² + 2)^3/4]