Question

Calcule a distância entre o ponto P(4,5) e a reta r: -3x+4y+2=0.

Answer 1

A distância entre o ponto e a reta é $\sf \to \large\boxed{\sf \boxed{\sf2}}$

Resolução

Para determinar a distância entre o ponto P(4,5) e a reta r: -3x+4y+2=0, precisamos obter a inicialmente a equação da reta s, que passa pelo por P e é perpendicular a R no ponto P. Em seguida calculamos a distância entre P e P.

• Coeficiente angular de R:

$\sf \boxed{\sf -3x+4y+2=0}\Rightarrow Y=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2}\to M_r =\dfrac{3}{4}$

• Por $\sf R \perp S$, segue que:

$\displaystyle\sf M_s=-\frac{1}{M_r}=-\frac{1}{\dfrac{3}{4} } =-\frac{4}{3}$

• Como S passa por $\sf P(4,5)$, temos que a equação de S é dada por:

$\sf Y-Y_o=M_s(x-x_0)\Rightarrow y-5=-\dfrac{4}{3} (x-4)\Rightarrow \\\\\\\sf \Rightarrow \sf y-5=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3}\Rightarrow 4x+3y-31=0$

• O Ponto P' é comum às retas R e S. Assim, as coordenadas de P' correspondem à solução do sistema:

$\sf \Rightarrow \begin{cases}\sf -3x+4y+2=0\cdot(4) \\\\ \sf 4x+3y-31=0\cdot(3)\end{cases} \Rightarrow \underline{\begin{cases}\sf -12x+16y+8=0 \\\\ \sf 12x+9y-93=0\end{cases}}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sf 25y-85=0\Rightarrow y=\dfrac{17}{5}$

• Substituindo y por  $\sf \dfrac{17}{5}$ em -3x+4y+2=0, Temos:

$\sf -3x+4\cdot\dfrac{17}{5}+2=0\Rightarrow -3x+\dfrac{68}{5}+2=0\Rightarrow x=\dfrac{26}{5}$

• Calculando a distância entre $\sf P(4,5)$ e $\sf P'\left(\dfrac{26}{5},\dfrac{17}{5}\right)$:

$\sf PP'=\sqrt{\left(\dfrac{26}{5}-4\right)^2+\left(\dfrac{17}{5}-5\right)^2 }=\sqrt{\left(\dfrac{6}{5}\right)^2 +\left(-\dfrac{8}{5}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{36}{25}+\dfrac{64}{25} } =\sqrt{\dfrac{100}{25} }$$\sf =\sqrt{4}=\boxed{\sf 2}$

Portanto, a distância entre o ponto P e a reta R é $\boxed{\sf 2}$

Veja Mais

• https://brainly.com.br/tarefa/25756628

$\Huge{\underbrace{\mathfrak{The~weeknd~XO}}}$