Question

Considere a função

$f(x) = \dfrac{2}{x-3}$
.
Seja ainda f’(x) a sua derivada dentro das condições de existência. Desta forma analise os itens abaixo.

I. Temos f’(2) = f’(4)
II. f’(x) > 0 para todo valor de x.
III. f’(x) é uma parábola.
IV. f’(x) > f(x) para qualquer x em seu domínio.

É correto o que se afirma em:


Alternativa 1:
I apenas.

Alternativa 2:
II apenas.

Alternativa 3:
II e III apenas.

Alternativa 4:
II, III e IV apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf f(x)=\dfrac{2}{x-3}$

$\sf f'(x)=\dfrac{(2)'\cdot(x-3)-(x-3)'\cdot2}{(x-3)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{0\cdot(x-3)-1\cdot2}{(x-3)^2}$

$\sf f'(x)=\dfrac{-2}{(x-3)^2}$

I. Temos f’(2) = f’(4)

=> Verdadeiro.

• f'(2)

$\sf f'(2)=\dfrac{-2}{(2-3)^2}$

$\sf f'(2)=\dfrac{-2}{(-1)^2}$

$\sf f'(2)=\dfrac{-2}{1}$

$\sf f'(2)=-2$

• f'(4)

$\sf f'(4)=\dfrac{-2}{(4-3)^2}$

$\sf f'(4)=\dfrac{-2}{1^2}$

$\sf f'(4)=\dfrac{-2}{1}$

$\sf f'(4)=-2$

II. f’(x) > 0 para todo valor de x.

=> Falso.

$\sf f'(x)=\dfrac{-2}{(x-3)^2}$

Como $\sf (x-3)^2 > 0$, para todo x real, e o numerador é negativo, então $\sf f(x) < 0$ para todo valor de x.

III. f’(x) é uma parábola.

=> Falso.

$\sf f'(x)=\dfrac{-2}{(x-3)^2}$

A equação de uma parábola é da forma $\sf (x-x_V)^2=2p\cdot(y-y_V)$ ou $\sf (y-y_V)^2=2p\cdot(x-x_V)^2$

Logo, $\sf f'(x)$ não é uma parábola.

IV. f’(x) > f(x) para qualquer x em seu domínio.

=> Falso.

Como vimos em II, temos f'(x) < 0, para todo x. Para x > 3, a função f(x) é maior que zero e então f(x) > f'(x)

Alternativa 1: I apenas.