Question

Considere os itens abaixo:

I. A derivada de $f(t) = \dfrac{t+2}{t-2}$ é $\dfrac{df}{dt} = \dfrac{-4}{(t-2)^2}$

II. A derivada de $f(x) = e^{4-3x^2}$ é $\dfrac{df}{dt} = -6x*e^{4-3x^2}$

III. Se $y (x) = (2-x^3)^4$ então $y' (1) = -12$

IV. Considerando $f(x) = ln(x^4+5)$ temos que sua derivada é uma função dada por $g(x) = \dfrac{4x^3}{x^4+5}$

É correto o que se afirma em:

Alternativa 1:
I e II, apenas.

Alternativa 2:
I e IV, apenas.

Alternativa 3:
I, II e III, apenas.

Alternativa 4:
II, III e IV, apenas.

Alternativa 5:
I, II, III e IV.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo das derivadas

I. Temos que a derivada de $\sf{ f(t)~=~ \dfrac{t + 2}{t - 2} }$ é: $\sf{ \dfrac{df}{dt}~=~ -\dfrac{4}{(t - 2)^2} }$ Para afirmarmos isso com certeza, vamos derivar a função f, seguindo as regras da derivada d'um Quociente.

Sabe-se que :

$\sf{ \Big( \dfrac{ f(x) }{g(x) } \Big)' ~=~ \dfrac{ f'(x)*g(x) - f(x) * g'(x) }{ g^2(x) } }$

Para a nossa função vamos ter :

$\Longrightarrow \sf{ f'(t) ~=~ \dfrac{ (t + 2)' * (t - 2)- (t + 2)(t - 2)' }{(t - 2)^2} }$

$\Longrightarrow \sf{ f'(t) ~=~ \dfrac{ t - 2 - t - 2 }{(t - 2)^2} }$

$\Longrightarrow \boxed{\sf{\pink{ f'(t) ~=~ - \dfrac{4}{(t - 2)^2} } } }$

Perceba que a derivada coincide com a afirmação acima, logo I é verdadeira.

II. Têm -se que a derivada de $\sf{ f(x) ~=~ e^{4 - 3x^2} }$ é $\sf{ f'(x)~=~-6x*e^{4 - 3x^2} }$

Fazendo o mesmo procedimento vamos derivar a função para conferir.

Sabemos que :

$\sf{ ( e^u) '~=~ e^u * u' }$

$\Longrightarrow \sf{ f'(x)~=~ e^{4 - 3x^2} * (4 - 3x^2)' }$

$\Longrightarrow \boxed{\sf{\red{ f'(x)~=~ -6x*e^{4 - 3x^2} } } }$

Então conclui-se que o item é verdadeiro.

III. Têm -se que a derivada de $\sf{ y~=~ (2 - x^3)^4 }$ é $\sf{ y'~=~ -12 }$

Fazendo o mesmo procedimento vamos ter que :

$\sf{ u^n~=~ n*u^{n - 1}*u' }$, Então :

$\Longrightarrow \sf{ y'~=~ 4(2 - x^3)^3 * (4 - x^3)' }$

$\Longrightarrow \sf{ y'~=~ 4(2 - x^3)^3 * (-3x^2) }$

$\Longrightarrow \sf{ y'~=~ -12x^2(2 - x^3)^3 }$

Achando a y'(1) :

$\Longrightarrow \sf{ y'(1) ~=~ -12*1^2(2 - 1)^3 }$

$\Longrightarrow \sf{ y'(1) ~=~ -12*1^3 ~=~\red{-12} }$

Então perceba que o resultado é igual ao da afirmação, portanto a afirmação é verdadeira.

IV. Temos a função $\sf{ f(x)~=~ \ln(x^4 + 5) }$, Diz-se que $\sf{f'(x)~=~ \dfrac{4x^3}{x^4 + 5} }$, Vamos fazer o teste.

Sabe-se que: $\sf{ ( \ln(u)) '~=~ \dfrac{u'}{u} }$, então :

$\Longrightarrow \sf{ f'(x)~=~ \dfrac{ (x^4 + 5)'}{ x^4 + 5} }$

$\Longrightarrow \boxed{ \sf{ \green{ f'(x)~=~ \dfrac{4x^3}{x^4 + 5} } } }$

Afirmação verdadeira.

Então é correcto o que se afirma em :

I, II, III e IV

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Espero ter ajudado bastante!)

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Answer 2

Explicação passo-a-passo:

I. Verdadeiro.

$\sf f(t)=\dfrac{t+2}{t-2}$

$\sf \dfrac{df}{dt}=\dfrac{(t+2)'\cdot(t-2)-(t-2)'\cdot(t+2)}{(t-2)^2}$

$\sf \dfrac{df}{dt}=\dfrac{1\cdot(t-2)-1\cdot(t+2)}{(t-2)^2}$

$\sf \dfrac{df}{dt}=\dfrac{t-2-t-2}{(t-2)^2}$

$\sf \red{\dfrac{df}{dt}=\dfrac{-4}{(t-2)^2}}$

II. Verdadeiro.

$\sf f(x)=e^{4-3x^2}$

$\sf \dfrac{df}{dx}=(4-3x^2)'\cdot e^{4-3x^2}$

$\sf \dfrac{df}{dx}=[2\cdot(-3x)]\cdot e^{4-3x^2}$

$\sf \red{\dfrac{df}{dx}=-6x\cdot e^{4-3x^2}}$

III. Verdadeiro

$\sf y(x)=(2-x^3)^4$

$\sf y'(x)=(2-x^3)'\cdot4\cdot(2-x^3)^3$

$\sf y'(x)=3\cdot(-x^2)\cdot4\cdot(2-x^3)^3$

$\sf y'(x)=-12x^2\cdot(2-x^3)^3$

=> Para x = 1:

$\sf y'(1)=-12\cdot1^2\cdot(2-1^3)^3$

$\sf y'(1)=-12\cdot1\cdot(2-1)^3$

$\sf y'(1)=-12\cdot1^3$

$\sf y'(1)=-12\cdot1$

$\sf \red{y'(1)=-12}$

IV.

$\sf f(x)=ln~(x^4+5)$

$\sf f'(x)=\dfrac{(x^4+5)'}{x^4+5}$

$\sf f'(x)=\dfrac{4x^3}{x^4+5}$

$\sf \red{g(x)=\dfrac{4x^3}{x^4+5}}$

Alternativa 5: I, II, III e IV.