Question

De quantas maneiras distintas poderão ser sorteadas simultaneamente cinco cartas de um baralho de modo que o resultado do sorteio contenha:

a) três cartas de paus e duas de espadas?
b) o rei de ouros?
c) exatamente dois valetes?
d) pelo menos três valetes?

Obrigado!!

Answer 1

=> Questão - a) três cartas de paus e duas de espadas? 

...temos 13 cartas de paus ..das quais pretendemos 3 ..donde resulta C(13,3)
...temos 13 cartas de espadas ..das quais pretendemos 2 ..donde resulta C(13,2)

Assim o total (N) de maneiras será dado por:

N = C(13,3) . C(13,2)

N = (13!/(13-3)!) . (13!/2!(13-2)!)

N = 13!/3!10!) .(13!/2!11!)

N = (13.12.11.10!/3!10!) . (13.12.11!/2!11!)

N = (13.12.11/6) . (13.12/2)

N = 286 . 78

N =  22308 <--- maneiras distintas


=> Questão - b) o rei de ouros?

...só temos 1 carta com o rei de ouros ...que terá de combinar com mais 4 cartas das 51 restantes ...donde resulta C(51,4) 

Assim o total (N) de maneiras será dado por:

N = 1 . C(51,4)

N = C(51,4)

N = 51!/4!(51-4)!

N = 51!/4!47!

N = 51.50.49.48.47!/4!47!

N = 51.50.49.48/4!

N =  5997600/24

N =  249900 <---- maneiras distintas


=> Questão - c) exatamente dois valetes?

...temos 4 valetes ..dos quais pretendemos 2 ..donde resulta C(4,2)
...temos 48 cartas restantes ...das quais pretendemos 3 ..donde resulta C(48,3)

Assim o total (N) de maneiras será dado por:

N = C(4,2) . C(48,3)

N = (4!/2(4-2)!) . (48!/3!(48-3)!)

N = (4!/2!2!) . (48!/3!45!)

N = (4.3.2!/2!2!) . (48.47.46.45!/3!45!)

N =  (4.3/2!) . (48.47.46/3!)

N = 6 . 17296

N =  103776 <--- número de maneiras diferentes


=> Questão - d) pelo menos três valetes?

....Pelo menos 3 valetes ...isso implica que podem ser 3 ou 4 valetes

donde resulta:

--> Para 3 valetes ..C(4,3) . (C48,2)
--> Para 4 valetes ..C(4,4) . C(48,1)

Assim o total (N) de maneiras será dado por:

N = C(4,3) . (C48,2) + C(4,4) . C(48,1)

N = 4 . C(48,2) + 1 . C(48,1)

N = 4 . (48!/2!(48-2)!) + (48!/1!(48-1)!)

N = 4 . (48!/2!46!) + (48!/1!47!)

N = 4 . (48.47.46!/2!46!) + (48)

N = 4 . (48.47/2!) + (48)

N = 4 . (1128) + 48

N =  4560 <-- número de maneiras diferentes


Espero ter ajudado