Question

(Ita 2011) O produto das raizes reais da equação | x^2 - 3x + 2| = |2x - 3| é igual a:

a) -5
b) -1
c) 1
d) 2
e) 5

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf |~x^2-3x+2~|=|~2x-3~|$

Temos:

$\sf |~x^2-3x+2~|=\begin{cases} \sf x^2-3x+2,~se~x^2-3x+2 \ge 0 \\ \sf -(x^2-3x+2),~se~x^2-3x+2 < 0 \end{cases}$

$\sf x^2-3x+2=0$

$\sf \Delta=(-3)^2-4\cdot1\cdot2$

$\sf \Delta=9-8$

$\sf \Delta=1$

$\sf x=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{1}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm1}{2}$

$\sf x'=\dfrac{3+1}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{4}{2}~\Rightarrow~x'=2$

$\sf x"=\dfrac{4-1}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{2}{2}~\Rightarrow~x"=1$

Assim:

$\sf |~x^2-3x+2~|=\begin{cases} \sf x^2-3x+2,~se~x \le 1~ou~x \ge 2 \\ \sf -x^2+3x-2,~se~1 < x < 2 \end{cases}$

• $\sf |~2x-3~|=\begin{cases} \sf 2x-3,~se~2x-3 \ge 0 \\ \sf -(2x-3),~se~2x-3 < 0 \end{cases}$

$\sf |~2x-3~|=\begin{cases} \sf 2x-3,~se~x \ge \frac{3}{2} \\ \sf -2x+3,~se~x < \frac{3}{2} \end{cases}$

Há 4 possibilidades:

1) $\sf x \le 1$

$\sf |~x^2-3x+2~|=|~2x-3~|$

$\sf x^2-3x+2=-2x+3$

$\sf x^2-3x+2x+2-3=0$

$\sf x^2-x-1=0$

$\sf \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)$

$\sf \Delta=1+4$

$\sf \Delta=5$

$\sf x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

$\sf \red{x'=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$ (não serve, pois é maior que 1)

$\sf \red{x"=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}$

2) $\sf 1 < x < \dfrac{3}{2}$

$\sf |~x^2-3x+2~|=|~2x-3~|$

$\sf -x^2+3x-2=-2x+3$

$\sf x^2-2x-3x+3+2=0$

$\sf x^2-5x+5=0$

$\sf \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot5$

$\sf \Delta=25-20$

$\sf \Delta=5$

$\sf x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{5}}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm\sqrt{5}}{2}$

$\sf \red{x'=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}$ (não serve, pois não pertence ao intervalo $\sf 1 < x < \dfrac{3}{2}$)

$\sf \red{x"=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}$

3) $\sf \dfrac{3}{2} < x < 2$

$\sf |~x^2-3x+2~|=|~2x-3~|$

$\sf -x^2+3x-2=2x-3$

$\sf x^2+2x-3x-3+2=0$

$\sf x^2-x-1=0$

$\sf \Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)$

$\sf \Delta=1+4$

$\sf \Delta=5$

$\sf x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{5}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

$\sf \red{x'=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$

$\sf \red{x"=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}$ (não serve, pois não pertence ao intervalo $\sf \dfrac{3}{2} < x < 2$)

4) $\sf x \ge 2$

$\sf |~x^2-3x+2~|=|~2x-3~|$

$\sf x^2-3x+2=2x-3$

$\sf x^2-3x-2x+2+3=0$

$\sf x^2-5x+5=0$

$\sf \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot5$

$\sf \Delta=25-20$

$\sf \Delta=5$

$\sf x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{5}}{2\cdot1}=\dfrac{5\pm\sqrt{5}}{2}$

$\sf \red{x'=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}$

$\sf \red{x"=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}$ (não serve, pois é menor que 2)

Há 4 raízes reais:

• $\sf \red{x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}}$

• $\sf \red{x_2=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}$

• $\sf \red{x_3=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}$

• $\sf \red{x_4=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}}$

$\sf S=\Big\{\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{5-\sqrt{5}}{2},\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\Big\}$

O produto das raízes reais é:

$\sf P=\Big(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\Big)\cdot\Big(\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\Big)\cdot\Big(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\Big)\cdot\Big(\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\Big)$

$\sf P=\dfrac{(1-\sqrt{5})\cdot(1+\sqrt{5})\cdot(5-\sqrt{5})\cdot(5+\sqrt{5})}{2\cdot2\cdot2\cdot2}$

$\sf P=\dfrac{[1^2-(\sqrt{5})^2]\cdot[5^2-(\sqrt{5})^2]}{16}$

$\sf P=\dfrac{(1-5)\cdot(25-5)}{16}$

$\sf P=\dfrac{(-4)\cdot20}{16}$

$\sf P=\dfrac{-80}{16}$

$\sf \red{P=-5}$

Letra A

Answer 2

OLÁ BOA TARDE!!!

____________________

produto=x"*"=c/

a=-5/1=-5

Se (3-v17)/2<x<(3+/17), temos que troocar o sinal de todas as equações:

-x²+3x+2+2x-33D0

-x²+5x-1=0 ou x²-5x+1=0 que é a mesma equação do 1° caso e as raízes serão as mesmas com produto 1, como existe multiplicidade temos que considerar mas como é 1, não fará diferença

1* -5 * 1 = -5 é a resposta

Letra A

Espero que sim ajude vc!!