Question

alternativas
1) 10 π
2) 12π
3) 14π
4) 16π
5) 18π

Answer 1

Temos a função $f(x) = \sqrt{3x+5}$, ao rotacionar a mesma em torno do eixo "x", forma-se um sólido parecido com um tronco de cone. Para encontrar o seu volume, vamos usar o método de dividir a figura em infinitos cilindros bem pequenos, sabemos que o volume de um cilindro é dado por $V = \pi . r^{2} . h$, no sólido gerado, o raio é dado pela função f(x) e a altura é dada por um pedaço muito pequeno de do eixo "x", ou seja, a diferencial de "x" (dx). Sabendo disso podemos encontrar o volume total somando o volume de cada um desses infinitos cilindros, então temos que o volume muito pequeno de um cilindro é dado pela expressão citada acima, podemos somar todos esses volumes pequenos através da integral:

$dv = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: h \\ \int dv = \int \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: h \\ v = \pi \int r {}^{2} \: . \: h$

Como eu disse, o raio é a função e altura a diferencial de "x", então vamos substituir:

$\boxed{ \boxed{v = \pi \int \limits _ {a}^{b} [f(x))] {}^{2} .dx}}$

Essa é a fórmula que usaremos para calcular o volume do sólido de revolução dado pela questão. Vamos substituir a função dada e os intervalos de integração.

$v = \pi \int\limits _ { - 1}^{ 1} [( \sqrt{3x + 5}) ] {}^{2} dx \\ v = \pi \int\limits _ { - 1}^{1} ( 3x + 5)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \\ v = \pi \left(3 \int\limits _ { - 1}^{1} xdx + \int\limits _ { - 1}^{1} 5dx \right)$

Essa integral formada é bem simples de resolver, colocarei de uma vez só o resultado da integração:

$v = \pi. \left( \frac{3x {}^{2} }{2} + 5x \right) \bigg | _ { - 1}^{1} \\ \\ v = \frac{3x {}^{2}\pi }{2} + 5x\pi\bigg | _ { - 1}^{1} \: \:$

Substituindo os intervalos de integração:

$v = \frac{3.1 {}^{2}.\pi }{2} + 5.( 1)\pi - \left( \frac{3.( - 1) {}^{2}.\pi }{2} + 5.( - 1).\pi\right) \\ v = \frac{3\pi}{2} + 5\pi - \frac{3\pi}{2} + 5\pi \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \boxed{\boxed{ v = 10\pi}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto podemos concluir que:

• Resposta: Alternativa 1: