Question

resolver os sistemas de equações

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$\sf \begin{cases} \sf log_{2}~x+2\cdot log_{3}~y=7 \\ \sf log_{2}~x-log_{3}~y=1 \end{cases}$

Sejam:

$\sf log_{2}~x=m$

$\sf log_{3}~y=n$

Temos:

$\sf \begin{cases} \sf m+2n=7 \\ \sf m-n=1 \end{cases}$

Multiplicando a segunda equação por 2:

$\sf \begin{cases} \sf m+2n=7 \\ \sf m-n=1~~\cdot2 \end{cases}~\Rightarrow~\sf \begin{cases} \sf m+2n=7 \\ \sf 2m-2n=2 \end{cases}$

Somando as equações:

$\sf m+2m+2n-2n=7+2$

$\sf 3m=9$

$\sf m=\dfrac{9}{3}$

$\sf m=3$

Substituindo na primeira equação:

$\sf m+2n=7$

$\sf 3+2n=7$

$\sf 2n=7-3$

$\sf 2n=4$

$\sf n=\dfrac{4}{2}$

$\sf n=2$

Assim:

• $\sf log_{2}~x=3$

$\sf x=2^3$

$\sf \red{x=8}$

• $\sf log_{3}~y=2$

$\sf y=3^2$

$\sf \red{y=9}$

A solução é $\sf (8,9)$

b)

$\sf \begin{cases} \sf log_{5}~x^2+log_{2}~y=1 \\ \sf log_{5}~x-log_{2}~y^3=-10 \end{cases}$

Temos que:

• $\sf log_{5}~x^2=2\cdot log_{5}~x$

• $\sf log_{2}~y^3=3\cdot log_{2}~y$

Assim:

$\sf \begin{cases} \sf 2\cdot log_{5}~x+log_{2}~y=1 \\ \sf log_{5}~x-3\cdot log_{2}~y=-10 \end{cases}$

Sejam:

$\sf log_{5}~x=m$

$\sf log_{2}~y=n$

Temos:

$\sf \begin{cases} \sf 2m+n=1 \\ \sf m-3n=-10 \end{cases}$

Multiplicando a primeira equação por 3:

$\sf \begin{cases} \sf 2m+n=1~~\cdot3 \\ \sf m-3n=-10 \end{cases}~\Rightarrow~\sf \begin{cases} \sf 6m+3n=3 \\ \sf m-3n=-10 \end{cases}$

Somando as equações:

$\sf 6m+m+3n-3n=3-10$

$\sf 7m=-7$

$\sf m=\dfrac{-7}{7}$

$\sf m=-1$

Substituindo na primeira equação:

$\sf 2m+n=1$

$\sf 2\cdot(-1)+n=1$

$\sf -2+n=1$

$\sf n=1+2$

$\sf n=3$

Assim:

• $\sf log_{5}~x=-1$

$\sf x=5^{-1}$

$\sf \red{x=\dfrac{1}{5}}$

• $\sf log_{2}~y=3$

$\sf y=2^3$

$\sf \red{y=8}$

A solução é $\sf \Big(\dfrac{1}{5},8\Big)$