Question

Prove por indução

$\boxed{1+3+6+...+ \frac{(n+1)n}{2}= \frac{n(n+1)(n+2)}{6} }$

Answer 1

PIF:

a) Prove que a propriedade vale para o primeiro termo 1:

$1=\frac{1(1+1)(1+2)}{6}=\frac{1+2+3}{6}=\frac{6}{6}=1 \ \ \ (V)$

b) Vamos admitir que a propriedade vale para um valor k>1   k∈N:
Logo:

$\boxed{1+3+6+....+\frac{(k+1)k}{2}=\frac{k(k+1)(k+2)}{6}=\frac{k^3+3 k^2+2 k}{6}}$

Agora admitindo a condição acima (hipótese de indução) do item anterior vamos demonstrar que a propriedade vale para o natural (k+1):

$1+3+6+...+\frac{(k+1)k}{2}+\frac{(k+2)(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}=\frac{k^3+6 k^2+11 k+6}{6}$

Mas veja que:

$\boxed{1+3+6+...+\frac{(k+1)k}{2}=\frac{k^3+3k^2+2k}{6}}$

Substituindo na expressão anterior:

$\frac{k^3+3k^2+2k}{6}+\frac{k^2+3k+2}{2}=\frac{k^3+6k^2+11k+6}{6}$

Que é o valor da expressão para n=k+1, CQD

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Princípio da Indução Finita (P.I.F) :

Para provarmos que a relação é válida $\mathsf{\forall n \in \mathbb{N} }$ , empregamos o princípio da indução Finita , cujo enunciado segue :

Uma proposição $\mathsf{P_{(n)}}$ , aplicável aos números naturais n , é verdadeira $\mathsf{ \forall n \in \mathbb{N} , n \geqslant n_{0} }$ , quando :

1.º $\mathsf{P_{n_{0}} }$ é verdadeira , isto é , a propriedade é válida para $\mathsf{ n~=~n_{0} }$ , e

2.º se $\mathsf{k \in \mathbb{N} , k\geqslant n_{0} }$ e $\mathsf{p_{k}}$ é verdadeira , então $\mathsf{p_{(k+1)}}$ é também verdadeira .

Resolução :

Provemos que :

$\mathsf{ 1 + 3 + 6 +... + \dfrac{n(n + 1)}{2}~=~\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6} }$

1.º Verifiquemos que $\mathsf{p_{(1)}}$ é verdadeira :

n = 1

$\mathsf{ \dfrac{1(1+1)}{2}~=~\dfrac{1(1+1)(1+2)}{6} \to \dfrac{2}{2}~=~\dfrac{6}{6} }$

$\mathsf{1~=~1}$ ✅✅

2.º Aceitemos que $\mathsf{p_{(k)}~,~com~k \in \mathbb{N} }$ :

$\mathsf{ 1 + 3 + 6 + ... + \dfrac{k(k+1)}{2}~=~\red{\dfrac{k(k+1)(k+2)}{6}} }$ → (hipótese da indução ) e provemos que decorre a validade de $\mathsf{p_{(k+1)}}$ , isto é :

$\mathsf{ \red{1 + 3 + 6 + ... + \dfrac{k(k+1)}{2}} + \dfrac{(k+1)(k+1+1)}{2}~=~\dfrac{(k+1)(k+1+1)(k+1+2)}{6} }$

$\mathsf{ \red{\dfrac{k(k+1)(k+2)}{6}} + \dfrac{(k+1)(k+2)}{2} ~=~ \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6} }$

fazendo o mínimo múltplo comum de (6 , 2) :

Divisão Simultânea :

6 , 2 | 2

3 , 1 | 3

1 , 1

---------------

6 = 3 • 2 = 6

Logo vamos ter que :

$\mathsf{ \dfrac{k(k+1)(k+2)}{6} + \dfrac{3(k+1)(k+2)}{6} ~=~\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6} }$

$\mathsf{ \dfrac{ k(k+1)(k+2) + 3(k+1)(k+2)}{6}~=~\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6} }$

Vamos colocar o fa[c]tor Comum em evidência :

$\mathsf{ \dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6}~=~\dfrac{(k+1)(k+2)(k+3)}{6} }$ $\checkmark$

C.Q.D

::::Espero ter ajudado bastante::::

Att: Joaquim-Logarítmo ✅