Question

Seja f definida como:
$f(x)=\begin{cases}ke^{- kx},~se~x\geq0\\0,~se~x\ \textless \ 0\\\end{cases}$.
Encontre$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{1}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja uma função $f$ definida por partes:

$f(x)=\begin{cases}ke^{-kx},~se~x\geq0\\0,~se~x<0\\\end{cases},~tal~que~k>0$.

Devemos encontrar o valor da integral imprópria: $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$

Primeiro, saiba que dada uma integral definida de uma função, contínua em todo o intervalo fechado $[a,~b]$, existe um ponto $c$ tal que $a<c<b$, logo temos a propriedade $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^cf(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx$.

Então, reescrevamos a integral imprópria como:

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^0f(x)\,dx+\int_0^{\infty}f(x)\,dx$

Observe que a primeira integral se trata da função quando ela pertence ao intervalo $[-\infty,~0]$. Neste intervalo, utilizamos o valor que nos foi definido anteriormente: "$f(x)=0,~se~x<0$".

Na segunda integral, utilizamos a expressão que nos foi definida para $x\geq0$, visto que ela está definida no intervalo $[0,~\infty]$.

Dessa forma, temos:

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^00\,dx+\int_0^{\infty}ke^{-kx}\,dx$

Sabendo que $\displaystyle{\int_{-\infty}^00\,dx=0$, nos resta apenas calcular a segunda integral

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_0^{\infty}ke^{-kx}\,dx$

Faça uma substituição $u=-kx$. Diferenciamos ambos os lados da equação a fim de encontrarmos o diferencial $du$.

$u'=(-kx)'\\\\\\ \dfrac{du}{dx}=-k$

Isole $du$

$du=-k\,dx$

Multiplique ambos os lados da equação por $(-1)$

$-du=k\,dx$

Veja que este elemento já pertence à integral, porém ainda devemos alterar os limites de integração: quando $x\rightarrow0,~u\rightarrow0$ e quando $x\rightarrow\infty,~u\rightarrow-k\cdot\infty=-\infty$, tal que $k>0$.

Logo, teremos

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_0^{-\infty}e^{u}\,(-du)$

Lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• O sinal negativo inverte os limites de integração: $\displaystyle{-\int_a^bf(x)\,dx=\int^a_bf(x)\,dx$.
• A integral da função exponencial é a própria função exponencial: $\displaystyle{\int e^x\,dx=e^{x}+C$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo$\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a propriedade da constante

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=-\int_0^{-\infty}e^u\,du$

Inverta os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=\int_{-\infty}^0e^u\,du$

Calcule a integral e aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=e^u~\biggr|_{-\infty}^0}\\\\\\ \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=e^0-\underset{u\rightarrow-\infty}{\lim}~e^u$

Sabendo que $e^0=1$ e conhecendo o comportamento da função exponencial quando se aproxima de $-\infty$: $\underset{u\rightarrow-\infty}{\lim}~e^u=0$, temos

$\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1$

Este é o valor desta integral imprópria.