Question

Sejam a, b, c números reais. Mostre que

pelo menos uma das equações a seguir

tem uma raiz real.

x² + (a - b)x + (b - c) = 0;
x² + (b - c)x + (c - a) = 0;
x² + (c - a)x + ( a - b) = 0.
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Answer 1

Do enunciado, extraímos todas as três seguintes equações quadráticas:

$\sf \bullet\ \: x^2+(a-b)x+(b-c)=0$

$\sf \bullet\ \: x^2+(b-c)\:\!x+(c-a)=0$

$\sf \bullet\ \: x^2+(c-a)\:\!x+(a-b)=0$

A meta aqui é provar que, para quaisquer a, b e c pertencentes a ℝ, no mínimo uma das equações acima possui alguma raiz real. Todavia, ao invés de trabalharmos com cada equação, objetivando encontrar valores reais que as satisfaçam, vamos, para início de resolução, pressupor que nenhuma delas tenha solução real. Para tal, relembremos que a equação quadrática genérica αx² + βx + γ = 0 (com α ≠ 0) só não possui raízes reais quando o seu discriminante β² – 4αγ = Δ (delta) for negativo, isto é, apenas quando β² – 4αγ < 0. Aplicando este conceito às equações, adquiriremos as três desigualdades abaixo:

$\sf \bullet\ \: (a-b)^2-4(b-c)<0$

$\sf \bullet\ \: (b-c)^2-4(c-a)<0$

$\sf \bullet\ \: (c-a)^2-4(a-b)<0$

Em seguida, adicionando membro a membro cada uma destas, ficamos com:

$\sf\qquad\quad\ \:\! (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-4\:\!(b-c)-4(c-a)-4(a-b)<0\\\\ \iff\ \ \ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-4\big[(b-c)+(c-a)+(a-b)\big]<0\\\\ \iff\ \ \ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-4\:\!(b-b+c-c+a-a)<0\\\\ \iff\ \ \ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-4\cdot(0+0+0)<0\\\\ \iff\ \ \ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-4\cdot 0<0\\\\ \iff\ \ \ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2-0<0\\\\ \iff\ \ \ \underbrace{(\sf a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2<0}_{ABSURDO!}\qquad (\:i\:)$

Como podemos ver, a desigualdade ( i ) é claramente um absurdo matemático, porquanto, para a, b e c reais arbitrários, temos sempre:

$\sf (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq\:\!0\qquad (\:ii\:)$

Repare também que ( i ) é justamente a expressão "contrária" à ( ii ) e, devido a isso, comprovamos que não existe valor real que a satisfaça. Consequentemente, provamos que, para quaisquer que sejam a, b e c em ℝ, pelo menos uma dentre as três equações dadas terá uma raiz real, visto que o pressuposto de que nenhuma delas têm raiz real gerou um resultado impossível.