Question

Sendo f(x)=-2-4(cos 2x).Resolva a inequação -4

Answer 1

Ola Shai

-4 < -2-4cos(2x) < 2

-1 < cos(2x) < 1/2

π/6 < x < π/2

π/2 < x < 5π/6 

Answer 2

$f\left(x \right)=-2-4\cos 2x$


Resolver a dupla desigualdade:

$-4<f\left(x \right )<2\\ \\ -4<-2-4\cos 2x<2$


Somando $2$ a todos os membros da dupla desigualdade, temos

$-4+2<-2-4\cos 2x+2<2+2\\ \\ -2<-4\cos 2x<4\\ \\ 4>-4\cos 2x>-2$


Multiplicando todos os membros da dupla desigualdade por $-\frac{1}{4}$ (um número negativo), os sinais das desigualdades se invertem. Então chegamos a

$\left(-\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 4} \right)\cdot \diagup\!\!\!\! 4<\left(-\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 4} \right )\cdot \left(-\diagup\!\!\!\! 4 \right )\cos 2x<\left(-\dfrac{1}{4} \right )\cdot \left(-2 \right )\\ \\ -1<\cos 2x<\dfrac{1}{2}$


Analisando o ciclo trigonométrico, vemos que os valores dos arcos cujo cosseno está no intervalo acima são

$\dfrac{\pi}{3}+k\cdot 2\pi<2x<\pi+k\cdot 2\pi\;\;\;\mathrm{ou}\\ \\ \pi+k\cdot 2\pi<2x<\dfrac{5\pi}{3}+k\cdot 2\pi$


Dividindo os membros da dupla desigualdade por $2$, finalmente, chegamos à solução:

$\dfrac{\pi}{6}+k\cdot \pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\cdot \pi\;\;\;\mathrm{ ou }\\ \\ \dfrac{\pi}{2}+k\cdot \pi<x<\dfrac{5\pi}{6}+k\cdot \pi$


onde $k$ é um número inteiro.


O conjunto solução da inequação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,\dfrac{\pi}{6}+k\pi<x<\dfrac{\pi}{2}+k\pi\;\;\mathrm{ou}\;\; \dfrac{\pi}{2}+k\pi<x<\dfrac{5\pi}{6}+k\pi,\right.\right.\\ \\ \left.k \in \mathbb{Z} \right \}$