Question

Me ajudem por favooor! com essa questão de principio da indução infinita:


Prove que $\displaystyle\sum_{i=o}^{n} q^{i} = \dfrac{q^n^+^1 -1}{q-1}$ para todo inteiro $n\geq0$.

Answer 1

Primeiro, veremos se isso é valido para $n=0$.

Na soma:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{0}q^i = q^0 = 1$

Agora a proposição:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{0}q^i = \dfrac{q^{0+1}-1}{q-1} = 1$

Percebe-se que é válida para $n=0$.

Agora assumiremos que a seguinte afirmação é válida:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}q^i = \dfrac{q^{k+1}-1}{q-1}$

Utilizaremos essa assumpção para verificar a proposição para $k+1$.

$\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}q^i = \dfrac{q^{(k+1)+1}-1}{q-1} = \dfrac{q^{k+2}-1}{q-1}$

Lembre-se que:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}q^i = q^0 +q^1+q^2+q^3+\cdots+q^{k-1}+q^k +q^{k+1}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}q^i = (\underbrace{q^0 +q^1+q^2+q^3+\cdots+q^{k-1}+q^k}_{\displaystyle\sum_{i=0}^{k}q^i }) +q^{k+1}$

Substituindo:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}q^i = \displaystyle\sum_{i=0}^{k}q^i } +q^{k+1}$

Voltando à nossa equação original:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{k+1}q^i = \dfrac{q^{k+2}-1}{q-1}$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{k}q^i } +q^{k+1}= \dfrac{q^{k+2}-1}{q-1}$

Sabemos o valor de  $\displaystyle\sum_{i=0}^{k}q^i }$.  Substituindo:

$\dfrac{q^{k+1}-1}{q-1}+q^{k+1}= \dfrac{q^{k+2}-1}{q-1}$

$q^{k+1}= \dfrac{q^{k+2}-1}{q-1}-\left(\dfrac{q^{k+1}-1}{q-1}\right)$

$q^{k+1}= \dfrac{1}{q-1}\cdot\left(q^{k+2}-1+1-q^{k+1}\right)$

$q^{k+1}\cdot(q-1)= q^{k+2}-q^{k+1}$

$q^{k+1}\cdot(q-1)= q^{k+1+1}-q^{k+1}$

Lembre-se que:

$a^{b+c} = a^b\cdot a^b$

Aplicando essa propriedade:

$q^{k+1}\cdot(q-1)= q^{k+1+1}-q^{k+1}$

$q^{k+1}\cdot(q-1)= q^1\cdot q^{k+1}-q^{k+1}$

Colocando $q^{k+1}$ em evidência:

$q^{k+1}\cdot(q-1)= q^{k+1}\cdot(q-1)$

Como os 2 lados são iguais, temos que a propriedade  $\displaystyle\sum_{i=0}^{n}q^i = \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$ é válida para todo inteiro $n\geq 0$.