Question

Calcule o trabalho realizado pela força→f ao logo do caminho C dado, onde C é o segmento de reta que liga o ponto A = (3,4) ao ponto B = (−1,0).

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Integral de Linha/ Curvilínea

O trabalho realizado por uma força F ao longo d'um caminho C é dado por :

$~~~~~~~~~~~~~ \boxed{ \sf{ \tau} ~=~ \displaystyle\int\limits_{a}^{b} \sf{ \vec{F}[ r(t) ]*\vec{r}'(t) dt } }$

Então temos que :

$\sf{ \vec{F}(x~,y)~=~ \vec{F}\Big( \dfrac{1}{x + 2}~,~ \dfrac{1}{y + 3}\Big) }$, determinar o trabalho ao longo do caminho C, onde por sua vez C é um segmento de recta que liga o ponto $\sf{ A(3~,~4) }$ Ao ponto $\sf{B(-1~,~0)}$.

Primeiro vamos efectuar a parametrização :

$\begin{cases} \sf{ x~=~ x_{1} + a*t } \\ \\ \sf{ y~=~ y_{1} + b*t } \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}\sf{ x~=~ 3 + a*t} \\ \\ \sf{ y~=~ 4 + b*t } \end{cases}$

Para achar os parâmetros a e b, basta fazer o vector $\sf{\vec{v}}$, Perceba que o enunciado nos fala que a direcção é de A até B, então :

$\iff \sf{ \vec{v}~=~ \vec{AB}~=~ B - A }$

$\iff \sf{ \vec{v}~=~ (-1~,~0) - (3~,~4) }$

$\iff \sf{ \vec{v}~=~ (-1 - 3 ~,~ 0 - 4)~=~ (-4~,~-4) }$

$\pink{ \iff \boxed{ \sf{ \vec{v}~=~ (-4~,~-4)~=~(a~,~ b) } } }$

Então a parametrização fica :

$\Longrightarrow \begin{cases} \sf{\red{ x~=~ 3 -4t }} \\ \\ \sf{ \red{ y~=~ 4 -4t} } \end{cases}$

Vamos achar o intervalo de t ( limites de integração ).

Pegando no ponto de partida :

$~~~~~~~~~ \sf{ x~=~ 3 - 4t }$

$\iff \sf{ \cancel{3} ~=~ \cancel{3} - 4t }$

$\iff \boxed{ \sf{ t~=~ 0 } }$

Pegando no ponto de chegada :

$\iff \sf{ -1 ~=~ 3 -4t }$

$\iff \sf{ -4t~=~ -4 }$

$\iff \boxed{ \boxed{ \sf{ t~=~ 1 } } }$

Então conclui-se que: $\boxed{ \sf{ \purple{ t\in [0~,~1] }} }$.

O vetor vai ser :

$\boxed{ \blue{ \sf{ \vec{r}(x)~=~ (3 - 4t)\hat{i} + (4 - 4t)\hat{j} } } }$

Derivando o vetor :

$\boxed{ \sf{ \pink{ \vec{r}'(x)~=~ -4\hat{i} - 4\hat{j} } } }$

Substituindo poder-se-á ter

$\sf{ \tau ~=~ } \displaystyle\int\limits_{0}^{1} \sf{ \Big( \dfrac{1}{\red{3 - 4t}+2}~,~ \dfrac{1}{\red{4 - 4t} + 3} \Big) * (-4~,~ -4) dt }$

$\sf{ \tau ~=~ } \displaystyle\int\limits_{0}^{1} \sf{ \Big( \dfrac{1}{5 - 4t}~,~ \dfrac{1}{7 - 4t} \Big) *(-4~,~ -4) dt }$,Fazendo o escalar :

$\tau~=~ \displaystyle\int\limits_{0}^{1} \sf{ \Big( \dfrac{-4}{5 - 4t} + \dfrac{-4}{7 - 4t} \Big)dt }$

Vamos achar a primitiva de :

$I~=~ \displaystyle\int \sf{ \Big( \dfrac{ -4}{5 - 4t} + \dfrac{-4}{7 - 4t} \Big)dt }$

$I~=~ \displaystyle\int \sf{\dfrac{ -4 }{5 - 4t}dt } + \displaystyle \int \sf{ \dfrac{-4}{7 - 4t}dt }$

Perceba que estamos perante a duas integrais imediatas do tipo :

$\displaystyle\int \sf{ \dfrac{u'}{u}du ~=~ \ln| u | + k,~ k\in \mathbb{R} }$

Analogamente :

$\iff \sf{ \tau ~=~ [ \ln(5 - 4t) + \ln(7 - 4t) ] \Big|^{1}_{0} }$

$\iff \sf{ \tau ~=~ ln(1) + ln(3) - [ ln(5) + ln(7) ] }$

$\iff \sf{ \tau ~=~ ln(3) - ln(35) }$

$\green{ \iff \boxed{ \boxed{ \sf{ \tau ~=~ \ln\Big( \dfrac{3}{35} \Big) } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

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Espero ter ajudado bastante! (

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