Question

Utilize o Teorema de Green para calcular as área da região R abaixo.

Answer 1

Resposta:

12π

Explicação passo-a-passo:

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1. Queremos a área da região delimitada pela elipse:

$\displaystyle \mathsf{E: \left \{ {{x=6\,cos(t)} \atop {y=2\,sen(t)}} \right.\qquad onde \,\,0\leq t\leq2\pi}$

2. O teorema de Green relaciona a integral de linha em torno de uma curva fechada com a integral dupla da área delimitada pela curva.

$\displaystyle\mathsf{ \oint_C P\,dx+Q\,dy=\iint_R\bigg(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg)dx\,dy}$

3. Pelo teorema de Green, a área de um região é dada por:

$\displaystyle\mathsf{ A= \iint_R1\,dx\,dy}$

isto é, queremos que

$\mathsf{\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1}$

E isso pode ser obtido quando:

$\mathsf{P(x,y)=-\frac{1}{2}\,y}\qquad\mathsf{e}\qquad\mathsf{Q(x,y)=\frac{1}{2}\,x}}$

4. Logo, a área procurada é dada por:

$\displaystyle\mathsf{ A= \iint_R1\,dx\,dy=\displaystyle \oint_C x\,dy-y\,dx}}$

5. Agora, calcule as derivadas em relação a t das equações paramétricas:

$\mathsf{dx=-6\,sen(t)\,dt}\\\\\mathsf{dy=2\,cos(t)\,dt}$

6. Substitua do lado direito da equação acima:

$\displaystyle\mathsf{ A= \displaystyle \oint_C x\,dy-y\,dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_0^{2\pi}6\,cos(t)2\,cos\,(t)\,dt-2\,sen(t)(-6\,sen(t))\,dt}\\\\\\\mathsf{A=\displaystyle \dfrac{12}{2}\int_0^{2\pi} sen^2(t)+cos^2(t)\,dt}\\\\\\\mathsf{A=6\displaystyle \int_0^{2\pi}1\,dt=6\cdot(2\pi)}\\\\\\\therefore \boxed{\mathsf{A=12\pi}}$

Conclusão: a área delimitada pela elipse é 12π

Bons estudos! :D

Equipe Brainly