Question

2) Determine m ∈ R para que a função f (x) = x² + mx + 1 seja positiva.

Answer 1

Para que seja  sempre positiva, a >0  Δ < 0, 
Δ = m² - 4
m² - 4 < 0
(m+2)(m-2) < 0

m + 2 = 0 
m  = - 2

m - 2 = 0 
m =  2


{m ∈ |R | -2 < m < 2}

Answer 2

$f(x)=ax^{2}+bx+c$

Uma função quadrática será sempre positiva/negativa se, e somente se Δ for negativo (pois aí a função não possui raízes reais e, portanto, não corta o eixo x em nenhum ponto)

Sendo Δ < 0:
- Se a > 0, a função será sempre positiva
- Se a < 0, a função será sempre negativa
_______________________________

$f(x)=x^{2}+mx+1=1x^{2}+mx+1$

O coeficiente 'a' é maior que zero, portanto, se Δ < 0, então f(x) > 0 para todo x pertencente ao domínio (conj. dos reais) da função

$\Delta~\textless~0\\\\b^{2}-4ac~\textless~0\\\\m^{2}-4\cdot1\cdot1~\textless~0\\\\m^{2}-4~\textless~0\\\\m^{2}-2^{2}~\textless~0$

Como a² - b² = (a + b)(a - b):

$(m+2)\cdot(m-2)~\textless~0$

Essa é uma inequação produto que pode ser facilmente resolvida, basta estudarmos os sinais da reta (m + 2), da reta (m - 2) e fazermos o produto de sinais

O estudo de sinais está em anexo
___

O intervalo onde m² - 4 é menor que zero é:

$(-2,~2)$

Então, qualquer 'm' nesse intervalo fará com que f(x) seja sempre positiva

$\boxed{\boxed{S=\{m\in\mathbb{R}/-2~\textless~m~\textless~2\}}}$