Question

Seja f (k,n)= [tex]\displaystyle\sum_{i=k}^{n} {1/i} conjecture a fórmula fechada para o somatório [tex]\displaystyle\sum_{i=1}^{n} {(in)} , a qual deve depender apenas de n, e prove-a (OBS: Não consegui digitar direito, mas coloquei print da questão.)

Answer 1

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(i,n) = f(1,n)+f(2,n)+f(3,n)+\cdots+f(n-1,n)+f(n,n)$

Observe cada relação separadamente:

$\begin{cases} f(1,n) = \dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3}+\cdots \dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n} \\~\\ f(,n) =\dfrac{1}{2} +\dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+\cdots \dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n} \\~\\f(3,n) =\dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5} +\cdots \dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n} \\~\:\:\:\:\:\:\:\:\ \cdots \\~\\ f(n-2,n)= \dfrac{1}{n-2}+\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n} \\~\\ f(n-1,n) =\dfrac{1}{n-1}+\dfrac{1}{n} \\~\\ f(n,n) =\dfrac{1}{n} \end{cases}$

O somatório que queremos encontrar equivale à soma de todas essas expressões.

Quantas vezes o $\dfrac{1}{1}$ 'aparece' no total? Uma vez (na primeira relação). Quantas vezes o $\dfrac{1}{2}$ 'aparece' no total? Duas vezes (na primeira e na segunda).

....

Quantas vezes o $\dfrac{1}{n}$ aparece no total?  n vezes (em todas).

Ou seja. O somatório pode ser escrito como:

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(i,n) = 1\cdot \dfrac{1}{1}+2\cdot\dfrac{1}{2}+3\cdot\dfrac{1}{3}+\cdots+(n-1)\cdot\dfrac{1}{n-1}+n\cdot\dfrac{1}{n}$

$\boxed{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(i,n) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{i}{i} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} 1 = n}$

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