Question

Ache uma equação da reta normal à curva $y=4x^2-8x$ no ponto (1, -4)

Answer 1

A reta normal é perpendicular à reta tangente da curva num determinado ponto.

Se ela é perpendicular, então quando multiplicamos os coeficientes angulares da reta tangente e da reta normal tem que dar -1.

Podemos resolver de duas formas.

1º Por Equação do 2º grau

( já que a curva é uma parábola )

Curva : $y = 4x^2-8x$

Achando o y do vértice e o x do vértice :

$\displaystyle Y_v = \frac{-\Delta}{4.a} \to Y = \frac{-[(-8)^2-4.4.0]}{4.4} \to \fbox{Y_v = -4 }$

$\displaystyle X_v = \frac{-b}{2a} \to X_v = \frac{-(-8)}{2.(4)} \to \fbox{X_v = 1 }$

Repare que é exatamente o ponto que a questão pede (1,-4). Portanto a reta tangente será uma reta paralela ao eixo x ( já que ela passa no vértice), do tipo :

$y = - 4$

Consequentemente a reta normal será uma reta paralela ao eixo Y passando pelo ponto do vértice que é 1.

Portanto a reta normal será :

x = 1

2ª forma Usando Derivada.

Curva : $y = 4x^2-8x$

ponto : $(1,-4)$

1º Vamos achar o coeficiente angular da reta tangente, derivando a curva no ponto dado :

$y' = [4x^2-8x]' \to y' = 8x - 8$

substituindo o ponto x = 1

$y' = 8.1-8 \to \fbox{\displaystyle y' = 0 }$

se o coeficiente angular deu 0, é porque se trata de uma reta paralela ao eixo x.

Continuando. A reta tangente é do tipo :

$y = y'.x + b$

substituindo os pontos :

$-4 = 0.1 + b \to \fbox{\displaystyle b = - 4 }$

Então encontramos a reta tangente de equação :

$y = -4$  [ passando pelo ponto (1,-4) ]

Se a reta tangente é paralela ao eixo x, então a reta normal, que é perpendicular, será do tipo x = 1.

Portanto :

$\fbox{\displaystyle Reta \ normal : x = 1 }$

( imagem do gráfico ae pra facilitar )

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos, concluímos que a reta normal à parábola pelo ponto "P" é:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf n: x = 1}} \end{gathered} }$

Se nos foi dado:

      $\Large\begin{cases}y = 4x^{2} - 8x\\P(1, -4) \end{cases}$

Para calcular a reta normal "n" à curva "y" passando pelo ponto "P" devemos utilizar a fórmula da reta em sua forma ponto declividade, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y - Y_{P} = m_{n}(X - X_{P}) \end{gathered}$

Para utilizarmos esta fórmula devemos ter as coordenadas do ponto "P(x, y)" e o coeficiente angular "mn" da reta.

Se a reta "n" é uma reta normal à curva, então ela também é normal à reta tangente "t" à curva pelo ponto "P". Desse modo temos:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}m_{n}\cdot m_{t} = -1 \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}m_{n} = -\frac{1}{m_{t}} \end{gathered} }$

Sabendo que o coeficiente angular de uma reta é a tangente do ângulo que esta reta forma com o eixo das abscissas no seu sentido positivo ou - em outras palavra - o coeficiente angular é a derivada primeira da curva pelo ponto P. Dessa forma, podemos calcular o coeficiente angular da reta "n", utilizando a seguinte estratégia:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}m_{n} = \frac{-1}{m_{t}} \end{gathered} }$      

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-1}{f'(4x^{2} - 8x)} \end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-1}{2\cdot4\cdot1^{2 - 1} - 1\cdot8\cdot1^{1 - 1}} \end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-1}{2\cdot4\cdot1^{1} - 1\cdot8\cdot1^{0}} \end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-1}{2\cdot4\cdot1 - 1\cdot8\cdot1} \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-1}{8 - 8} \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-1}{0} \end{gathered}$

Chegando nesta etapa, percebemos que a divisão não será possível. Pois, o denominador é igual a "0". Neste caso, o ponto "P" é o vértice da parábola e o coeficiente angular da reta "t" é igual à "0", ou seja a reta "t" é paralela ao eixo das abscissas. Então, a reta normal "n" será paralela ao eixo das ordenadas pelo ponto "P". Então:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}n: x = 1 \end{gathered}$

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Solução gráfica: