Question

As otimizações de processos envolvendo fatores como custos, quantidade de material, tempo de operação, disponibilidade de mão de obra, entre outros, são aplicações práticas muito úteis relacionadas às derivadas primeiras, e segundas, de uma função. O procedimento corresponde, basicamente, a “traduzir” as informações disponíveis como uma função dependente dos fatores que se deseja otimizar e, então, aplicar os conceitos de derivada e ponto crítico.
Suponha que você foi contratado como estagiário em uma empresa que faz instalação de dutos, tubos, canos e sistemas de bombeamento, e que sempre participa das atividades de instalação como auxiliar. Para uma determinada instalação, que será feita na zona rural, a seguinte situação surgiu:

​O proprietário decidiu que seria instalado um único sistema, que iria do açude mais próximo para a plantação (irrigação) e depois abasteceria a casa (dessedentação de animais, limpeza geral e sanitários, por exemplo). Para esse caso, as informações disponíveis são:


​Para esse caso, considere:
- Distância vertical entre a casa e a plantação de 400 metros, a distância vertical entre o açude e a plantação de 600 metros e a distância horizontal entre o açude e a casa de 1000 metros;
- A bomba próxima à plantação pode ser instalada mais perto do açude ou da casa, dependendo do resultado da otimização;
- As linhas em azul representam a tubulação.

Agora é com você, ajude no processo de escolha da melhor forma de instalação desse sistema, ou seja, com o menor comprimento de canos, respondendo aos seguintes questionamentos:

a) Qual a função que descreve o comprimento de tubulação que parte do açude, passa pela plantação e segue para a casa?

b) Qual a menor tamanho de tubulação necessária para se fazer a instalação segundo a decisão do proprietário? (otimizar a função da letra “a”)

c) Considerando que o metro de tubulação custa R$ 5,00, que a bomba do açude custa R$ 800,00, que a bomba posicionada próxima a irrigação custa R$ 650,00 e que a mão de obra da empresa para o procedimento de instalação foi de R$ 500,00, calcule o custo total.

Answer 1

Resposta:

a) Qual a função que descreve o comprimento de tubulação que parte do açude, passa pela plantação e segue para a casa?

H=√(400²+(1000-x)²)              H= √(600²+x²)

C(x)= √(600²+x²)+√(400²+(1000-x)²)

Answer 2

A função comprimento da tubulação é tal que $\bold{c\left( x \right)=\sqrt{0,36+x^2}+\sqrt{0,16+\left(1-x \right)^2}}$. A partir dela, temos que o menor tamanho possível para a tubulação é de 1,41 km, gerando um custo total de R$9.000,00 .

a) Analisando a figura, notamos que o comprimento da tubulação corresponde às hipotenusas dos dois triângulos formados. Desta forma, temos que o comprimento total da tubulação é representado por:

$c\left( x \right)=\sqrt{0,6^2+x^2}+\sqrt{0,4^2+\left(1-x \right)^2}$

$\bold{c\left( x \right)=\left(0,36+x^2\right)^{1/2}+\left(0,16+\left[1-x \right]^2}\right)^{1/2}}$

b) Para encontrarmos o menor comprimento da função, precisamos determinar o valor de x que minimiza a função comprimento total c(x). Tal fato é possível igualando a derivada da função c(x) à zero. Por questões de praticidade, vamos dividir este item em algumas etapas:

• Derivada do termo $\underline{\left(0,36+x^2\right)^{1/2}}$

Para determinarmos a derivada deste termo, precisamos utilizar a Regra da Cadeia, a qual é utilizada para derivar problemas que envolvem funções compostas. Esta Regra assume que a derivada de uma função composta possui a seguinte forma:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Para este primeiro termo, vamos considerar que $\underline{y=u^{1/2}}$ e que $\underline{u=0,36+x^2}$. Aplicando a Regra da Cadeia:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d\left(u^{1/2}\right)}{du} \cdot \frac{d\left(0,36+x^2\right)}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1\cdot u^{-1/2}}{2} \cdot \left(0+2\cdot x\right)$

$\bold{\frac{dy}{dx}=\frac{x}{\left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}}}$

• Derivada do termo $\underline{\left[0,16+\left(1-x \right)^2\right]^{1/2}}$

Para determinarmos a derivada deste termo, mais um vez será utilizada a Regra da Cadeia. Considerando: $\underline{y=u^{1/2}}$ e $\underline{u=0,16+\left(1-x\right)^2}$; então:

$\frac{dy}{dx}=\frac{d\left(u^{1/2}\right)}{du} \cdot \frac{d\left[0,16+\left(1-x\right)^2 \right]}{dx}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1\cdot u^{-1/2}}{2} \cdot \left[0+\frac{d\left[\left(1-x\right)^{2}\right]}{dx}\right]$

É necessário aplicar a Regra da Cadeia mais uma vez por conta do termo $\underline{\left(1-x\right)^2}$. Assim, considerando: $\underline{w=v^2}$ e $\underline{v=1-x}$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1\cdot u^{-1/2}}{2} \cdot \left[0+\frac{d\left(v^2\right)}{dv}\cdot \frac{d\left(1-x\right)}{dx}\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1\cdot u^{-1/2}}{2} \cdot \left[0+2\cdot \left(1-x\right)\cdot \left(-1\right)\right]$

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\cdot u^{1/2}} \cdot \left[-2\cdot \left(1-x\right)\right]$

$\bold{\frac{dy}{dx}=\frac{\left(x-1\right)}{\left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}}}$

• Derivada da função c(x)

$c'\left(x\right)=\frac{x}{\left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}}+\frac{\left(x-1\right)}{\left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}}$

• Valor de x que minimiza a função c(x)

Para determinar o valor de x que minimiza a função c(x), precisamos igualar a primeira derivada da função à zero:

$c'(x)=0$

$\frac{x}{\left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}}+\frac{\left(x-1\right)}{\left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}}=0$

$\frac{\left(x\right)\cdot \left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}+\left(x-1\right)\cdot \left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}}{\left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}\cdot\left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}}=0$

$\left(x\right)\cdot \left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}+\left(x-1\right)\cdot \left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}=0$

$\left(x\right)\cdot \left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}=-\left(x-1\right)\cdot \left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}$

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

$\left[\left(x\right)\cdot \left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]^{1/2}\right]^2=\left[-\left(x-1\right)\cdot \left(0,36+x^{2}\right)^{1/2}\right]^2$

$\left(x\right)^2\cdot \left[0,16+\left(1-x\right)^2\right]=\left(x-1\right)^2\cdot \left(0,36+x^{2}\right)$

$x^2\cdot \left(0,16+1-2\cdot x+x^2\right)=\left(x^2-2\cdot x+1)\cdot \left(0,36+x^{2}\right)$

$1,16\cdot x^2-2\cdot x^3+x^4=0,36\cdot x^2+x^4-0,72\cdot x-2\cdot x^3+0,36+x^2$

$0,2\cdot x^2-0,72\cdot x+0,36=0$

Resolvendo a equação de 2º grau, encontramos que as raízes são 3,0 e 0,6. Destas raízes, apenas o valor de 0,6 serve para nosso problema. Assim, é correto afirmar que a função comprimento atinge o seu mínimo quando x = 0,6 km.

• Comprimento mínimo da tubulação

$c\left( 0,6 \right)=\sqrt{0,36+0,6^2}+\sqrt{0,16+\left(1-0,6 \right)^2}$

$\bold{c\left( 0,6 \right)=1,41\: km}$

c) O custo total da obra é dado por:

$custo=5\cdot c\left(x\right)+800+650+500$

$custo=5\cdot c\left(x\right)+1950$

$custo=5\cdot 1,41\times10^3+1950$

$\bold{custo=9000\: reais}$

Obs.: deve-se converter a distância de km para m.

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