Question

Quando uma pedra é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 40m/s, a partir de uma altura inicial de 45m, ela sobe com velocidade cada vez menor, até atingir uma altura maxima em relação ao solo, quando momentaneamente para. A partir daí, ela desce cada vez mais rapidamente até voltar ao solo. Sabemos que por causa da força da gravidade (peso), que age dobre a pedra, sua velocidade diminui a uma taxa constante de aproximadamente 10m/s a cada segundo, no movimento de subida. Podemos descrever o movimento da pedra por meio de uma função de 1°grau, que representa sua velocidade, e de uma função de 2°grau, que representa a sua altura em relação ao solo. Nesse caso, as funções que representam a velocidade e a altura são as seguintes:
v=40-10t
( a partir do valor inicial 40m/s, a velocidade diminui 10m/s a cada segundo, ou seja, a taxa de variação da velocidade é de -10m/s por s, que se escreve -10m/s^2)
h=45+40t-5t^2
(a partir do valor inicial 45m, a altura aumenta até um valor maximo, diminuindo posteriormente até atingir o valor zero).

pede-se:
a) construa o grafico de v em função de t;
b) construa o grafico de h em função de t;

Answer 1

Olha colega, problema simples, basta atribuirmos valores à uma das incógnitas, para acharmos a outra incógnita.
Na parte a) deste problema, pede-se para construir um gráfico da função da velocidade em função do tempo.
É simples, é só criarmos uma tabelinha com valores dados ao tempo, para descobrirmos o valor correspondente da velocidade.
Ex. Para t = o⇒V = 40m/s
É so substituir na fórmula⇒
V = 40 - 10.(0)⇒
V = 40m/s

Para t = 1s⇒
V = 40 - 10.(1)⇒
V = 30m/s

Para t = 2s⇒
V = 40 - 10.(2)⇒
V = 20m/s

Para t= 3s⇒
V = 40 - 10(3)⇒
V = 10m/s

Para t = 4s⇒
V = 40 - 10(4)⇒
V = 0 m/s

Após montarmos esta tabelinha, vamos ao gráfico cartesiano.
No eixo das ordenadas (eixo dos y), coloco as velocidades obtidas e no eixo das abcissas, (eixo dos x ), coloco os valores obtidos do tempo.

Então trata-se de um gráfico de uma reta, interpretador num gráfico cartesiano.
Marco 40m/s no eixo das ordenadas, para t = 0 s, marco 30m/s , para tempo t = 1s, marco 20m/s, para t = 2 s, marco 10m/s para tempo t = 3 s e marco 0 m/s para t = 4 s.
Percebo que o gráfico é uma reta decrecente à partir de 40m/s até 0 m/s.

b) Parte b

Como o próprio problema diz, trata-se de uma função do 2º grau, um trinômio do 2° grau, onde valem as propriedades dos trinômios do 2° grau.
A função é H = 45 + 40t - 5t² .
Da mesma forma que fizemos anteriormente, atribuímos valores a H, para obtermos respectivos valores de t.
Sabemos que a representação gráfica de uma função do 2º grau, ou trinômio do 2° grau, é uma parábola.
A concavidade de uma parábola do 2º grau, dependerá do sinal de a.
Sabemos que uma função trinômio do 2º grau, tem o seguinte jeitão:
ax² + bx + c = 0 .
Quando a>0⇒ concavidade voltada para cima.
Quando a<0⇒ concavidade voltada para baixo.
No caso deste problema, a = - 5⇒ concavidade é voltada para baixo.
Podemos também, calcular as raizes desta função.
Basta impormos que H = 0⇒
0 = 45 + 40t - 5t²⇒
t1= - 40 + √(40)² - 4.(-5).45⇒
                   -10

t1 = - 40 + √1600 + 900⇒
                 - 10

t1 = - 40 + √2500⇒
               - 10

t1 = - 40 + 50⇒
           - 10

t1 = 10⇒
     - 10

t1 = - 1 s

t2 = - 40- 50⇒
           - 10

t2 = - 90⇒
       - 10

t2 = 9 s

O significado destes valores obtidos é que a parábola é com a concavidade voltada para baixo, conforme explicação acima, passando pelos pontos t = - 1s e t = 9s
Podemos também, calcularmos os valores dos vértices da Parábola, através das seguintes fórmulas:
Xv = - b/2a e Yv = - Δ/4a

Espero tê-lo ajudado
Bons Estudos
kélémen