Question

Quero a resolução da função exponencial que está anexada.

Answer 1

A formula dada é a seguinte:

$P(t) = P_{0} 10^{kt}$

Antes de continuar, deveremos estabelecer quem é P0 e k. O problema ja fala que inicialmente haviam 300 pessoas, então P0 = 300 e a equação agora fica:

$P(t) = P_{0} 10^{kt} \\ P(t) = 300. 10^{kt}$

Para calcular k, vamos usar a parte onde diz que após 400 anos, haviam 100.000 pessoas, assim, quando t = 400, P(t) = 100.000

$P(t) = 300. 10^{kt} \\ \\ 100000 = 300 . 10^{k . 400} \\ \\ \frac{100000}{300} = 10^{k . 400} \\ \\ \frac{1000}{3} = 10^{400k} \\ \\ log(\frac{1000}{3} ) = log(10^{400k}) \\ \\ log(1000) - log(3) =400k.log(10) \\ \\ log(10^{3} ) - log(3) =400k.log(10) \\ \\ 3log(10 ) - log(3) =400k.log(10)$

Sabemos que log de 10 na base 10 é 1:

$3 - log(3) =400k \\ \\ 400k = 3 - log(3) \\ \\ k = \frac{3 - log(3)}{400}$

Agora vamos colocar esse valor de k na equação P(t) novamente:

$P(t) = 300. 10^{kt} \\ \\ P(t) = 300. 10^{(\frac{3 - log(3)}{400})t}$

Agora, vamos determinar o que se pede:

Para t = 800, qual o valor de P(t)?

$P(t) = 300. 10^{(\frac{3 - log(3)}{400})t} \\ \\ P(t) = 300. 10^{(\frac{3 - log(3)}{400})800} \\ \\ P(t) = 300. 10^{(3 - log(3)).2} \\ \\ P(t) = 300. 10^{6 - 2log(3)} \\ \\ P(t) = 300. 10^{6 - log( 3^{2} )} \\ \\ P(t) = 300. \frac{ 10^{6} }{ 10^{log( 3^{2} )} }$

Por definição:

$10^{log(a)} = a$

Então:

$10^{log( 3^{2} )} = 3^{2} = 9$

Logo:

$P(t) = 300. \frac{ 10^{6} }{ 10^{log( 3^{2} )} } \\ \\ P(t) = 300. \frac{ 10^{6} }{ 9 } \\ \\ P(t) = 3. 10^{2} . \frac{ 10^{6} }{ 9 } \\ \\ P(t) = 3 . \frac{ 10^{8} }{ 9 } \\ \\ P(t) = \frac{ 10^{8} }{ 3 } \\ \\ P(t) = \frac{ 100000000 }{ 3 } \\ \\ P(t) = 33.333.333,33$

Assim, quem mais se aproxima é a alternativa C