Question

Na figura abaixo temos um triângulo retângulo de vértices ABC, com

A = (1,2, −1), B = (−1,0, −1) e C = (2,1,2).


Se H é o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A assinale o item que contém as

coordenadas do vetor AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Answer 1

Vamos usar projeção ortogonal entre vetores.

Sendo dois vetores $\vec{U} \ e \ \vec{V}$ a projeção de U em V é dado pela seguinte relação:

$\displaystyle Proj_{\ \vec{V}} \ \vec{U} = \frac{\vec{U}. \vec{V} }{|\vec{V}|^2}}. \vec{V}$

Sabendo disso vamos para a questão.

Temos os vértices de um triângulo :

$A(1,2,-1), \ B(-1,0,-1) , \ C( 2,1,2)$

e queremos o ponto H que é a altura desse triângulo.

Olhando a figura, podemos dizer que BH é a projeção de BA em BC, ou seja :

$\displaystyle BH = Proj_{\vec{BC}} \ \vec{BA}$

$\displaystyle BH = \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2}.\vec{BC}$

1º Vamos achar os vetores e depois só substituir :

$BH = H - B$

$\vec{BA} = A - B = (2, 2, 0)$

$\vec{BC} = C- B = (3,1,3)$

$|BC| = \sqrt{3^3+1^2+3^2} = \sqrt{19}$

2º  Vamos fazer o produto dos vetores e dps só substituir :

(lembrando que o produto dos vetores vai dar escalar)

$\vec{BA}.\vec{BC} = (2,2,0).(3,1,3) \to \vec{BA}.\vec{BC} = 2.3 + 2.1 + 0.3$

$\vec{BA}.\vec{BC} = 2.3 + 2.1 + 0.3 = 8$

3º Voltando na fórmula e substituindo :

$\displaystyle BH = \frac{\vec{BA}.\vec{BC}}{|\vec{BC}|^2}.\vec{BC}$

Substituindo :

$\displaystyle (H-B) = \frac8{\sqrt{19}^2}.(C-B)$

$\displaystyle 19.(H-B) = 8(C-B)$

$19H-19B = 8C - 8B \to 19H = 8C -8B + 19 B$

$\displaystyle 19.H = 8.C +11. B \to \fbox{\displaystyle H = \frac{8.C+11.B}{19} }$

Agora vamos só substituir as continhas e ser feliz.

$8.C = 8. ( 2,1,2 ) = (16,8,16)$

$11.B = 11.(-1,0,-1) = (-11,0,-11)$

substituindo :

$\displaystyle H = \frac{(16,8,16)+(-11,0,-11)}{19}$

$\displaystyle H = ( \frac{5}{19}, \frac{8}{19}, \frac{5}{19} )$

Por último  :

A questão pede AH . Portanto :

$\displaystyle \vec{AH} = H-A = (\frac{5}{19},\frac{8}{19},\frac{5}{19}) - (1,2,-1)$

$\displaystyle \vec{AH} = (\frac{5}{19} - 1 , \ \frac{8}{19}-2, \ \frac{5}{19} +1 )$

$\fbox {\displaystyle \vec{AH} = (\frac{-14}{19} , \ \frac{-30}{19}, \ \frac{24}{19} ) }$

Letra B