Question

seja (figura)

a) f é derivavel em x = 0? justifique
b) f é continua em x = 0? justifique

Answer 1

Temos as seguintes informações:

$\sf f(x) = \begin{cases} \sf{x}^{2} \: \:,se \: x \geqslant 0 \\ \sf - x {}^{2}, \: \: se \: x > 0\end{cases}$Para uma uma ser derivável em uma certo ponto, as derivada laterais devem ser iguais, ou seja, $\sf f'_{+}(x)= f'_{ - }(x)$. Primeiro vamos relembrar que a definição formal de derivada, diz que:

$\boxed{\boxed{\sf f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x}}}$

Aplicando essa definição nas derivada laterais:

$\sf \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ + } } \frac{f(\Delta x+ x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x}$

Primeiro vamos substituir as informações para a derivada que tende para valores positivos, ou seja, tendendo para x maior que "0", então devemos usar a expressão f(x) = -x², agora vamos substituir no local de "x" a expressão ∆x + x:

$\sf f(x) = - x {}^{2} \longleftrightarrow f(\Delta x + x) = - (\Delta x + x) {}^{2} \\ \\ \sf f(\Delta x + x) = - (\Delta x + x).(\Delta x + x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf f( \Delta x + x) = - ( \Delta x) {}^{2} - 2x\Delta x - x { }^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo essas informações na derivada positiva:

$\sf \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ + } } \frac{f(\Delta x+ x)-f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\\sf \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ + } } \frac{ - (\Delta x ) {}^{2} - 2x\Delta x - x {}^{2} -( - x {}^{2}) }{\Delta x} = \lim_{ \Delta x \to 0 {}^{ - } }\frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x} \\ \\\sf \lim_{ \Delta x \to 0 {}^{ + } } \frac{ - (\Delta x) {}^{2} - 2x \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\frac{f(\Delta x + x)-f(x)}{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos verificar a mesma coisa para a derivada tendendo para valores menores que "0", então usaremos f(x) = x²:

$\sf f(x) = x {}^{2} \longleftrightarrow f(\Delta x + x) = (\Delta x + x) {}^{2} \\ \\\sf f(\Delta x + x) = (\Delta x + x).(\Delta x + x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\\sf f(\Delta x + x) =( \Delta x) {}^{2} +2 x\Delta x + x {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo essa expressão na derivada rendendo por valores negativos:

$\sf\lim_{ \Delta x \to 0 {}^{ + } } \frac{ - (\Delta x) {}^{2} - 2x \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\frac{( \Delta x) {}^{2} + 2x\Delta x + x {}^{2} - x {}^{2} }{\Delta x} \\ \\ \sf\lim_{ \Delta x \to 0 {}^{ + } } \frac{ - (\Delta x) {}^{2} - 2x \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\frac{(\Delta x ) {}^{2} +2 x\Delta x )}{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf\lim_{ \Delta x \to 0 {}^{ + } } \frac{ \Delta x( - \Delta x - 2x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\frac{\Delta x(\Delta x + 2x)}{\Delta x} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\\sf \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ + } } - \Delta x - 2x = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\Delta x + 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo o valor a qual ∆x tende:

$\sf\lim_{\Delta x \to 0 {}^{ + } } - \Delta x - 2x = \lim_{\Delta x \to 0 {}^{ - } }\Delta x + 2x \\ \\\sf - 0 - 2x = 0 + 2x \\ \\\sf - 2x = 2x$

A questão pergunta se ela é derivável em x = 0, então vamos substituir esse valor:

$\sf - 2.0 = 2.0 \\ \\\sf 0 = 0$

Se a função é derivável em um ponto ela é obrigatoriamente contínua nesse mesmo ponto.

Espero ter ajudado