Question

Como calcular a derivada de f(x)= x^ln x?
( o sinal ^ significa elevado)

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$f(x) = x {}^{ \ln x} \longleftrightarrow y = x {}^{ \ln x }$

Primeiramente fiz apenas a troca da notação f(x) pela sua outra notação que é "y". Agora vamos lembrar da seguinte propriedade de logaritmo:

$\boxed{\ln a {}^{b} = b. \ln a}$

Seguindo essa propriedade, vamos aplicar logaritmo natural em ambos os lados da equação, para que possamos descer o (ln x):

$\ln y = \ln x {}^{ \ln x} \longleftrightarrow \ln y = \ln x. \ln x \\ \\ \ln y = \ln { }^{2} x$

Agora basta derivarmos ambos os lados da equação, ou seja, derivar implicitamente:

$\frac{d}{dx} \ln y = \frac{d}{dx} \ln {}^{2} x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{1}{y} . \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} ( \ln x. \ln x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{ \frac{dy}{dx} }{y} = \frac{d}{dx} ( \ln x ). \ln x + \ln x. \frac{d}{dx} ( \ln x) \\ \\ \frac{dy}{dx} = y. \left( \frac{1}{x} . \ln x + \ln x.\frac{1}{x} \right ) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = y. \left( \frac{2 \ln x }{x} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{dy}{dx} = y. \left( \frac{ \ln x {}^{2} }{x} \right) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Por fim, observe que no começo da questão temos o valor de "y" que é a própria função sem alteração nenhuma, então:

$\boxed{\boxed {\frac{dy}{dx} = x {}^{ \ln x} . \left( \frac{ \ln x {}^{2} }{x} \right)}}$

Espero ter ajudado