Question

Calcule o posto da matriz ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

O posto de uma matriz é igual ao número de linhas não nulas quando a escrevemos na forma escada.

Dizemos que uma matriz está na forma escada se:

1) Toda linha nula está abaixo de toda linha não nula.

2) O primeiro elemento não nulo de toda linha não nula (pivô) é igual a 1.

3) Se uma coluna tem um pivô, então todos os outros elementos dessa coluna são iguais a 0.

4) Se as linhas i e j têm pivôs, com i < j, então o pivô da linha j está à direita do pivô da linha i.

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 7 & \sf 6 & \sf 3 & \sf 3 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 8 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 8 \end{array}\Big]~\Longrightarrow^{\frac{8}{7}\cdot L_1~\Rightarrow~L_1}~\Big[\begin{array}{cccc} \sf 8 & \sf \frac{48}{7} & \sf \frac{24}{7} & \sf \frac{24}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 8 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 8 \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 8 & \sf \frac{48}{7} & \sf \frac{24}{7} & \sf \frac{24}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 8 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 8 \end{array}\Big]~\Longrightarrow~L_3-L_1~\Rightarrow~L_3~\Big[\begin{array}{cccc} \sf 8 & \sf \frac{48}{7} & \sf \frac{24}{7} & \sf \frac{24}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf \frac{-48}{7} & \sf \frac{-24}{7} & \sf \frac{32}{7} \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 8 & \sf \frac{48}{7} & \sf \frac{24}{7} & \sf \frac{24}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf \frac{-48}{7} & \sf \frac{-24}{7} & \sf \frac{32}{7} \end{array}\Big]~\begin{cases} \sf \frac{1}{8}\cdot L_1~\Rightarrow~L_1 \\ \sf \frac{-7}{48}\cdot L_3~\Rightarrow~L_3 \end{cases}~\Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf \frac{6}{7} & \sf \frac{3}{7} & \sf \frac{3}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{1}{2} & \sf \frac{-2}{3} \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf \frac{6}{7} & \sf \frac{3}{7} & \sf \frac{3}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{1}{2} & \sf \frac{-2}{3} \end{array}\Big]~\begin{cases} \sf L_1-\frac{6}{7}\cdot L_2~\Rightarrow~L_1 \\ \sf L_3-L_2~\Rightarrow~L_3 \end{cases} \Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf \frac{-9}{7} & \sf \frac{-3}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf \frac{-3}{2} & \sf \frac{-5}{3} \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf \frac{-9}{7} & \sf \frac{-3}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf \frac{-3}{2} & \sf \frac{-5}{3} \end{array}\Big]~\Longrightarrow~\frac{-2}{3}\cdot L_3~\Rightarrow~L_3~\Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf \frac{-9}{7} & \sf \frac{-3}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{10}{9} \end{array}\Big]$

$\sf \Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf \frac{-9}{7} & \sf \frac{-3}{7} \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{10}{9} \end{array}\Big]~\begin{cases} \sf L_2-2\cdot L_3~\Rightarrow~L_2 \\ \sf L_1+\frac{9}{7}\cdot L_3~\Rightarrow~L_1 \end{cases} \Big[\begin{array}{cccc} \sf 1 & \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 \\ \sf 0 & \sf 1 & \sf 0 & \sf \frac{-11}{9} \\ \sf 0 & \sf 0 & \sf 1 & \sf \frac{10}{9} \end{array}\Big]$

Essa matriz possui 3 linhas não nulas, logo seu posto é 3