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Resolva a equação x 0 0 1 / 0 x 1 0 / 0 x 0 1 / 1 0 x 1 = 2 x² / x 0

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{x=0~~~\mathsf{ou}~~~x=1}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar os valores de $x$ de forma que:

$\begin{vmatrix}x&0&0&1\\0&x&1&0\\0&x&0&1\\1&0&x&1\\\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2&x^2\\x&0\\\end{vmatrix}$

Do lado esquerdo, temos um determinante de ordem $4$. Para calculá-lo, utilizaremos o Teorema de Laplace.

Dada uma matriz $A=[a_{ij}]_{n\times n}$, para $n>1$, afirma-se que seu determinante é dado pela fórmula:

$\det A=\displaystyle{\sum_{i,~j}^n a_{ij}\cdot (-1)^{i+j}\cdot\det (D_{ij})$

Em que devemos escolher uma fila (linha ou coluna) e calcular a soma dos produtos entre os elementos desta fila e seus cofatores. O determinante $\det(D_{ij})$ é formado pelos elementos que restam na matriz original ao retirarmos a linha e coluna respectivas do elemento.

Então, preferencialmente escolhe-se a linha com o maior número de zeros. Escolhendo a coluna $j=1$, teremos:

$\displaystyle{\sum_{i=0}^4 a_{i1}\cdot (-1)^{i+1}\cdot\det (D_{1j})$

Expanda a soma

$a_{11}\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (D_{11})+a_{21}\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det (D_{21})+a_{31}\cdot (-1)^{3+1}\cdot\det (D_{31})+a_{41}\cdot (-1)^{4+1}\cdot\det (D_{41})$

Substituindo os elementos da matriz, teremos:

$x\cdot (-1)^{1+1}\cdot\det (D_{11})+0\cdot (-1)^{2+1}\cdot\det (D_{21})+0\cdot (-1)^{3+1}\cdot\det (D_{31})+1\cdot (-1)^{4+1}\cdot\det (D_{41})$

Multiplique e some os valores

$x\cdot (-1)^{2}\cdot\det (D_{11})+ (-1)^{5}\cdot\det (D_{41})$

Calcule as potências

$x\cdot\det (D_{11})-\det (D_{41})\\\\\\x\cdot\begin{vmatrix}x&1&0\\x&0&1\\0&x&1\\\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}0&0&1\\x&1&0\\x&0&1\\\end{vmatrix}$

Calcule os determinantes utilizando a regra de Sarrus:

$x\cdot(-x-x^2)-(-x)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$-x^2-x^3+x$

Então, calculamos o determinante ao lado direito:

$\begin{vmatrix}2&x^2\\x&0\\\end{vmatrix}=2\cdot0-x^2\cdot x=-x^3$

Igualando os lados esquerdo e direito, teremos

$-x^3-x^2+x=-x^3$

Some $x^3$ em ambos os lados da equação

$-x^2+x=0$

Fatore a equação

$x\cdot(1-x)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores é igual a zero, logo

$x=0~~~\mathsf{ou}~~~1-x=0$

Some $x$ em ambos os lados da segunda equação

$x=0~~~\mathsf{ou}~~~x=1$

Estas são as soluções possíveis.