Question

resolva as equações a seguir no universo dos numeros complexos
a) - x ao quadrado -3=0
b)4x ao quadrado -4x+3=0

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver as equações a seguir no âmbito dos números COMPLEXOS.

a) - x² - 3 = 0 ------ veja: para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1". Assim:

x² + 3 = 0 ---- passando "3" para o 2º membro, teremos:
x² = - 3
x = +-√-3 ------ note que √-3 = √3 * √(-1). Assim, ficaremos com:
x = +-√3)√(-1) ----- veja que, nos complexos, √(-1) = i. Assim, ficaremos com:
x = +-√(3)*i , ou apenas:
x = +- i√3)----- daqui você conclui que as duas raízes complexas são estas:

x' = - i√3
x'' = i√3

As duas raízes complexas da questão do item "a" são as que demos aí em cima. Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x'; x''} da seguinte forma:

S = {-i√3; i√3}.


b) 4x² - 4x + 3 = 0 ----- vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

x = [-(b)+-√(b²-4ac)]/2a

Note que a equação desta questão tem os seguintes coeficientes:
a = 4; b = - 4; c = 3 . Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, ficaremos assim:

x = [-(-4)+-√(-4)² - 4*4*3) ]/2*4
x = [4 + - √(16-48)]/8
x = [4 +- √(-32)]/8 ---- veja que √(-32) = √(32) * √(-1). Assim:
x = [4 +-√(32) * √(-1)]/8 ----- veja que 32 = 2⁵ = 2².2².2¹ = 2².2².2. Assim:
x = [4 +-√(2².2².2) * √(-1)]/8  ---- note que os "2" que estão ao quadrado saem de dentro do radical, com o que ficaremos assim:
 
x = [4 +- 2.2√(2)*√(-1)]/8
x = [4 +- 4√(2)*√(-1)]/8 ------ como já vimos que √(-1) = i, ficaremos:
x = [4 +- 4√(2)*i]/8 ---- ou, o que é a mesma coisa:
x = [4 +-4i√(2)]/8 ---- dividindo-se numerador e denominador por "4", iremos ficar apenas com:

x = [1 +- i√2]/2 ----- daqui você conclui que as raízes complexas são estas:

x' = (1 - i√2)/2
e
x'' = (1 + i√2)/2

As duas raízes complexas da questão do item "b" são as que acima estão descritas.

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução {`x'; x''} da seguinte forma:

S = {(1-i√2)/2; (1+i√2)/2} .
 

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.