• Matéria: Matemática
  • Autor: alebrvieira2
  • Perguntado 5 anos atrás

Use o método de integração por partes para calcular a integral abaixo:

A- \int\limits {\sqrt{x}}lnx \, dx

Respostas

respondido por: SubGui
1

Resposta:

\Large{\boxed{\bold{\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot\left(\ln x-\dfrac{2}{3}\right)}}}

Explicação passo-a-passo:

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta integral utilizando a técnica de integração por partes, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx

Lembre-se da fórmula: \displaystyle{\int u\,dv=u\cdot v-\int v\,du

Como critério de escolha para u, temos a propriedade LIATE, em que dá-se prioridade às funções Logarítmicas, Inversas trigonométricas, Algébricas (potências de x), Trigonométricas e Exponenciais, nesta ordem.

Então, escolhemos u=\ln x e dv=\sqrt{x}\,dx.

Diferenciamos a expressão em u, a fim de encontrarmos o diferencial du e integramos a expressão em dv:

u'=(\ln x)'\\\\\\\dfrac{du}{dx}=\dfrac{1}{x}\Rightarrow du=\dfrac{dx}{x}\\\\\\\ \displaystyle{\int dv=\int \sqrt{x}\,dx}\\\\\\ v=\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}

Substituindo estes termos na fórmula, teremos

\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx=\ln x\cdot \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}-\int \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot\dfrac{dx}{x}

Multiplique os valores

\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\int \dfrac{2x^{\frac{1}{2}}}{3}\,dx

Aplique a propriedade da constante

\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\dfrac{2}{3}\cdot\int x^{\frac{1}{2}}\,dx

Calcule a integral

\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}

Multiplique as frações

\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}\ln x}{3}-\\\dfrac{4x^{\frac{3}{2}}}{9}

Podemos fatorar a expressão

\displaystyle{\int \sqrt{x}\cdot\ln x\,dx= \dfrac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}\cdot\left(\ln x-\dfrac{2}{3}\right)

Este é o resultado desta integral.

Perguntas similares