Question

A equação det (A – xB) = 0, com x Î IR, admite:
a) uma raiz de multiplicidade 2.
b) uma raiz negativa.
c) duas raízes negativas.
d) uma raiz positiva e outra negativa. e) uma raiz nula.

Answer 1

Resposta:

Vide explicação

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos escrever qual que é a matrix: $A - xB$

$A = \begin{bmatrix}4 & 2\\2 & 1 \end{bmatrix}\; xB = x\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\\\\\\\ A-xB = \begin{bmatrix}4 - x & 2 - 0\\2-0 & 1 - x \end{bmatrix}\\\\\\A - xB = \begin{bmatrix}4 - x & 2 \\2 & 1 - x \end{bmatrix}$

$\text{Lembrando que }x \in \mathbb{R}$

Vamos calcular o determinante e igualar a zero:

$\det(A-xB) = ((4-x)\cdot (1-x))-(2\cdot 2) = 0\\\\\det(A-xB) = x^2 -5x + 4 -4 = 0\\\\\det(A-xB) = x^2 -5x = 0$

Temos a seguinte equação então:

$x^2-5x = 0\\\\x(x-5) = 0\\\\x_1 = 0\\x_ 2 = 5$

As raízes da são 0 e 5 que podem ser obtidas ao fatorar a equação, com isso temos uma raiz nula, que nos leva a alternativa e.]

Isso pode ser facilmente verificado pois se B é multiplicado por 0 temos apenas o determinante de A, o determinante de A é SEMPRE 0, e o determinante de B NUNCA é zero. Quando B é multiplicado por 5 e subtraido temos que as linhas são multiplas uma das outras, portanto determinante 0, por esse mesmo motivo que A é sempre 0.

Qualquer dúvida respondo nos comentários