Question

54 pts para 2 questões!

4) Em uma PA a5+a9=86 e a11+a18=81. Determine a soma dos 40 primeiros termos dessa PA.
5) Em uma PA, sabe-se que a soma dos 20 primeiros termos é 200 e que a soma dos 3 primeiros é zero. Determine o valor do 1º termo dessa PA.

Answer 1

4) Pede-se a soma dos 40 primeiros termos de uma PA, da qual sabemos que: 

a5 + a9 = 86 
e 
a11 + a18 = 81. 

Agora veja que: 

a5 = a1 + 4r 
a9 = a1 + 8r 
a11 = a1 + 10r 
a18 = a1 + 17r 

E porque sabemos disso? Porque, conforme a fórmula do termo geral, temos: 

an = a1 + (n-1)*r ----Ora, se queremos a5, então: 
a5 = a1 + (5-1)*r 
a5 = a1 + 4r 

E assim, com esse mesmo raciocínio, você vai encontrar que a9 = a1+8r; a11 = a1+10r; e a18 = a1+17r. 

Bem, dito, isso, vamos fazer as devidas substituições do a5, a9, a11 e a18, ficando: 

a1+4r + a1+8r = 86 ----> 2a1 + 12r = 86 ----2a1 = 86-12r ---> a1 = (86-12r)/2 . (I) 

e 

a1+10r + a1+17r = 81 
2a1 + 27r = 81 . (II) 

Mas, conforme (I), temos que a1 = (86-12r)/2. Então, vamos substituir, na igualdade (II) acima, o valor de "a1" por (86-12r)/2. Assim, ficamos com: 

2*(86-12r)/2 + 27r = 81  
(86-12r) + 27r = 81 
86 - 12r + 27r = 81 
86 + 15r = 81 
15r = 81 - 86 
15r = -5 
r = -5/15  com: 
r = -1/3 <-----Essa é a razão da nossa PA. 

Agora, para encontrar o valor de "a1", vamos substituir, na igualdade (I), o valor de "r" por (-1/3). 
A igualdade (I) é esta: 

a1 = (86-12r)/2
a1 = [86 - 12*(-1/3)]/2 
a1 = [86 + 12/3]/2  
a1 = [86 + 4]/2 
a1 = [90]/2 
a1 = 90/2 
a1 = 45 

an = a1 + (n-1)*r 
a40 = 45 + (40-1)*(-1/3) 
a40 = 45 + (39)*(-1/3) 
a40 = 45 - 39/3 
a40 = 45 - 13 
a40 = 32 

Sn = (a1 + an)*n/2 
S40 = (45+32)*40/2 
S40 =(77)*20 
S40 = 77*20 
S40 = 1.540

5)   Sn = (a1+an).n
                2

    (a1+a20).20 = 200 ==> ( a1 + a20 ).20 = 400 ==> a1+a20 = 400 ==> a1+a20 = 20
         2                                                                                20
     
   (a1+a30).30 = 0 ==> (a1 + a30) .30 = 0 ==> a1+a30 = 0 ==> a1+a30 = 0
         2                                                                       30

     a1+a20 = 20==> a1+a1+19r = 20 ==> 2a1 + 19r = 20(-1)
     a1+a30 = 0 ==> a1 +a1+29r = 0  ==> 2a1 + 29r = 0   (1)

      -2a1 - 19r = - 20
      2a1 + 29r = 0   
              10r = - 10
               r =- 1

     2a1 + 19r = 20
     2a1 = 20 - 19r
     2a1 = 20-19(-1)
      2a1 = 20+19
      2a1 = 39
  a1 =39
         2

Answer 2

Mylena,

Vou ajudar com a primeira

Numa PA
                 an = a1 + (n - 1).r

Na PA em estudo
                 a5 + a9 = 86
       a5 = a1 + (5 - 1).r
       a9 = a1 + (9 - 1).r   
     a5 + a9 = 2a1 + 12r
                                                     2a1 + 12r = 86      (1)

                  a11 + a18 = 81
        a11 = a1 + (11 - 1)r
       a18 = a1 + (18 -1)   
       a11 + a18 = 2a1 + 27r
                                                     2a1 + 27r = 81        (2)

Resolvendo sistema (1) - (2)
         De (1)
                           2a1 = 86 - 12r
        De (2)
                           2a1 = 81 - 27r
                                                               2a1 = 2a1
                                                         86 - 12r = 81 - 27r
                                                         86 - 81 = - 27r + 12r
                                                                    5 = - 15r
                                                                     r = 5/-15
                                                                     r = - 1/3     
       r em (1)                                               
                          2a1 + 12(- 1/3) = 86
                           2a1 - 4 = 86
                               2a1 = 86 + 4
                                 a1 = 90/2
                                                                     a1 = 45

          Sn = n/2(a1 + an)
                   a1 = 45
                   a40 =
                                           a40 = 45 + (40 - 1)(-1/3)
                                                   = 45 - 13
                                           a40 = 32
                                                                    S40 = 40/2(45 + 32)
                                                                             = 20(77)
                                                                             = 1540
                       S40 = 1540