Question

Por que precisa inverter a fração quando se trata de regra de tres inversa?
Quero uma explicação detalhada, sempre os profs nos pedem pra inverter, mas nunca explicam a fórmula, do porquê por trás disso. ​

Answer 1

A regra de 3 é apenas um método. Infelizmente, não é frequente o ensino do porquê de muitas coisas na matemática (bhaskara, regra de 3, etc). Porém, esse método pode ser explicado pelas definições do que são grandezas direta e inversamente proporcionais.

Quando duas grandezas são diretamente proporcionais, a divisão entre elas é constante. Desse princípio que vem a regra de 3 direta. Digamos que A está para B, assim como C está para x (incógnita). Podemos escrever essa relação de acordo com a primeira afirmação (divisão é constante) ou de acordo com regra de 3:

• Divisão é constante

$\frac{A}{B} =cte$ (constante)

$\frac{C}{x}=cte$

•Então:

$\frac{A}{B}=\frac{C}{x}$  ou  $\frac{A}{C} =\frac{B}{x}$ (I)

-Daí que nasce a regra de 3. Se multiplicarmos em cruz, obteremos o resultado de x.

$A.x=B.C$

$x=\frac{B.C}{A}$

• Regra de 3

A => B

C => x

•Multiplicação em cruz

$A.x=B.C$

$x=\frac{B.C}{A}$

-Repare que o resultado é exatamente o mesmo. Portanto, a regra de 3 direta é apenas uma igualdade entre razões (ou frações, como preferir).

No entanto, em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante. Ao estabelecer a mesma relação de antes (A está para B, assim como C está para x), temos:

• Produto é constante

$A.B=cte$

$C.x=cte$

•Então:

$A.B=C.x$ **

$\frac{A}{C}=\frac{x}{B}$ (II)

-Compare agora as equações marcadas por (I) e (II). Um dos termos está invertido, correto? Logo, se invertermos os termos, podemos alternar entre regra de 3 direta (grandezas diretamente proporcionais) e regra de 3 inversa (grandezas inversamente proporcionais). Por isso que na regra de 3 inversa invertemos os termos

• Regra de 3

A => B

C => x

•Inversão

A => x

C => B

•Multiplicação em cruz

$A.B=C.x$ **(mesma relação que estabelecemos lá em cima)

-Como chegamos à mesma relação, também chegaremos ao mesmo resultado de x. Assim, a regra de 3 inversa é apenas uma igualdade entre produtos.