Question

Determine a equação da circunferência que passa por A (-2,-1), B (2,5) e C (6,1)

Answer 1

Sabemos que a distância entre ocentro e qualquer ponto da circunferência é constante e igual ao raio. Sabemos também que a fórmula da distância entre dois pontos $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$ é dada por :

$|P_1,P_2| = \sqrt{(x_1-x_22)^2+(y_1-y_2)^2}$

Além disso, a equação de uma circunferência com centro no ponto $(x_0,y_0)$ e raio r é  :

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = r^2$

Para cada ponto, temos a distância dele até o centro é igual ao raio.

Temos os pontos onde a circunferência passa :

$A(-2,-1), B(2,5), \ C(6,1)$

Então teremos o seguinte sistema :

(1)  : $(-2-x_0)^2+(-1-y_0)^2=r^2$

(2) : $(2-x_0)^2+(y-5)^2=r^2$

(3) : $(6-x_0)^2+(1-y_0)^2 = r^2$

Fazendo :

(1) = (3) ( vou pôr o resultado direto. As contas deixo para você)

$\fbox{y_0 = 8-4x_0 }$

Fazendo :

(1) = (2) ( vou pôr o resultado direto. As contas deixo para você)

$\fbox{2x_0+3y_0 = 6 }$

substituindo o $y_0$ :

$2x_0 +24 - 12x_0 = 6$

$10x_0 = 18 \to \fbox{\displaystyle x_0 = \frac{9}{5} }$

Então :

$\displaystyle y_0 = 8- 4.\frac{9}{5} \to \fbox{\displaystyle y_0 = \frac{4}{5} }$

Substituindo $x_0 \ e \ y_0$ na 1ª equação para achar o raio :

$(-2-x_0)^2+(-1-y_0)^2=r^2$

$\displaystyle (-2-\frac{9}{5})^2+(-1-\frac{4}{5})^2=r^2$

$\displaystyle \frac{(-19)^2}{25}+\frac{(-9)^2}{25}=r^2$

$\displaystyle r^2 = \frac{442}{25}$

Portanto a equação da circunferência é :

$\fbox{\displaystyle (x-\frac{9}{5})^2+(y-\frac{4}{5})^2 = \frac{442}{25} }$