Question

2. Dentre todos os números x e z tais que 2x + z = 8, determine aqueles
cujo produto é máximo.​

Answer 1

• Determine o produto x⋅z.

2x + z = 8 ⟶ Isole z.

z = 8 − 2x ①

• Para obter o produto x⋅z substitua z por 8 −2x.

x⋅z = x⋅(8 − 2x)

x⋅z = 8x − 2x²

Observe a função f(x) = 8x − 2x² que representa o produto x⋅z:

• É uma função do segundo grau portanto seu gráfico é representado por uma parábola.
• O coeficiente de x² é negativo portanto a parábola é de concavidade para baixo.

• Deseja-se os valores de x e z tal que o valor do produto x⋅y seja máximo portanto determine o valor de x para o qual o valor de f(x) é máximo.
• O valor máximo de f(x) ocorre no vértice da parábola. A coordenada x do vértice é obtida por:

$\large \sf x_V = -\dfrac{b}{2a}$ ② onde a e b são os coeficientes da função f(x) = ax² + bx + c

Para f(x) = 8x − 2x²:

a = −2

b = 8

• Substitua os valores de a e b em ②.

$\large \sf x_V = -\dfrac{8}{2\cdot(-2)} = -\dfrac{8}{-4}$

$\Large \sf x_V = 2$

• Substitua o valor de $\large \sf x_V$ na equação ①.

z = 8 − 2x

z = 8 − 2⋅2

z = 4

O produto x⋅z é máximo para x = 2 e z = 4.

• Aprenda mais sobre vértice de uma função em:

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