Question

Obtenha a inversa da matriz A em cada item abaixo.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a)

$A.A^{-1}=I \\\\\left[\begin{array}{ccc}3&1\\2&1\\\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\\\\left[\begin{array}{ccc}3a+c&3b+d\\2a+c&2b+d\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

$\left \{ {{3a+c=1} \atop {2a+c=0}} \right.$

Subtraindo as equações:

$3a-2a+c-c=1-0\\\\a=1$

Substituindo $a$ em uma das equações:

$2a+c=0\\\\2.1+c=0\\\\2+c=0\\\\c=-2$

$\left \{ {{3b+d=0} \atop {2b+d=1}} \right.$

Subtraindo as equações:

$3b-2b+c-c=0-1\\\\b=-1$

Substituindo $b$ em uma das equações:

$2b+d=1\\\\2.(-1)+d=1\\\\-2+d=1\\\\d=1+2\\\\d=3$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-2&3\\\end{array}\right]$

b)

$A.A^{-1}=I \\\\\left[\begin{array}{ccc}6&5\\2&2\\\end{array}\right] .\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right] \\\\\left[\begin{array}{ccc}6a+5c&6b+5d\\2a+2c&2b+2d\\\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

$\left \{ {{6a+5c=1} \atop {2a+2c=0}} \right.$

Multiplicando a segunda equação por -3:

$\left \{ {{6a+5c=1} \atop {-6a-6c=0}} \right.$

Somando as equações:

$6a-6a+5c-6c=1+0\\\\-c=1\\\\c=-1$

Substituindo $c$ em uma das equações:

$6a+5c=1\\\\6a-5=1\\\\6a=6\\\\a=1$

$\left \{ {{6b+5d=0} \atop {2b+2d=1}} \right.$

Multiplicando a segunda equação por -3:

$\left \{ {{6b+5d=0} \atop {-6b-6d=-3}} \right.$

Somando as equações:

$6b-6b+5d-6d=0-3\\\\-d=-3\\\\d=3$

Substituindo $d$ em uma das equações:

$6b+5d=0\\\\6b+15=0\\\\6b=-15\\\\b=\frac{-15}{6} \\\\b=\frac{-5}{2}$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1&\frac{-5}{2} \\-1&3\\\end{array}\right]$