Question

Uma função é definida pela lei de formação f(x - y) = f(x).f(y), onde x e y são números reais. Calcule o valor de f(3), dado que f(x) se anula.

Answer 1

$f(x-y) = f(x)\cdot f(y)$

$x = y$

$f(y-y) = f(y)\cdot f(y)$

$f(y)^2 = f(0)$

$f(y) = \sqrt{f(0)}$

Percebe-se que f(y) é constante e sempre será igual a $\sqrt{f(0)}$.

$y = x$

$f(x-x) = f(x)\cdot f(x)$

$f(x)^2 = f(0)$

$f(x) = \sqrt{f(0)}$

Percebe-se que $f(x) = f(y) = \sqrt{f(0)}$ para qualquer x e y. Pelo enunciado, f(x) se anula em algum ponto, logo $\sqrt{f(0)} = 0 \implies f(0) = 0$, visto que f(x) é constante.

Então nossa função vai ficar:

$f(x-y) = f(x)\cdot f(y)$

$f(x-y) = f(0)$

$f(x-y) = 0$

$y = 0 \text{ , }x =3$.

$f(3) = 0$.