Question

Encontre a primitiva da função f(x) = 3x³−4x²+5/x² , que satisfaça a condição inicial F(1) = 0.​

Answer 1

"Seja uma função definida num intervalo real = [, ]. Uma primitiva (ou antiderivada) de em é uma função definida em onde F'(x)=f(x) para qualquer ∈ "

Logo :

$\displaystyle F(x) = \int\limits f(x)\ dx$

Então vamos integrar a função f(x)  :

$\displaystyle F(x) = \int (3x^3 -4x^2 + \frac{5}{x^2}) \ dx$

Podemos separar as integrais. Então vamos reescrever assim :

$\displaystyle F(x) = \int 3x^3\ dx - \displaystyle \int 4x^2 \ dx + \displaystyle \int 5.x^{-2} \ dx$

integrando cada uma ( vou deixar a constante para o final ) :

$\displaystyle \int 3x^3 = \frac{3.x^{(3+1)}}{3+1} = \frac{3x^4}{4}$

$\displaystyle - \int 4x^2 = - \frac{4x^{(2+1)}}{2+1} = - \frac{4x^3}{3}$

$\displaystyle \int 5x^{-2} = \frac{5.x^{(-2+1)}}{-2+1} = - 5.x^{-1} = - \frac{5}{x}$

Portanto :

$\displaystyle F(x) = \frac{3x^4}{4} -\frac{4x^3}{3} - \frac{5}{x} + C$

Agora vamos fazer F(1) = 0 para achar a constante.

$\displaystyle F(1) = \frac{3.1^4}{4} -\frac{4.1^3}{3} - \frac{5}{1} + C$

$\displaystyle \frac{3}{4} -\frac{4}{3} - 5 + C = 0$

$\displaystyle \frac{9-16-60}{12} + C = 0$

$\displaystyle C = \frac{67}{12}$

Então a nossa primitiva será :

$\fbox{\displaystyle F(x) = \frac{3x^4}{4} -\frac{4x^3}{3} - \frac{5}{x} + \frac{67}{12} }$