Exercícios:
1) Quantos anagramas tem a palavra:
a) PATA?
b) FERVOROSO?
c) MATEMÁTICA?
2) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem criar uma sigla
com cinco símbolos, sendo cada símbolo a primeira letra de seus
nomes. Qual o número total de siglas possíveis de se formar?
Respostas
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Sendo P(n) a permutação de n elementos. P(n) = n!. Então
a) Há três formas de cálculo:
- P(4) / P(2) = 4! / 2! = 12
Consideramos que as 4 letras são diferentes. Logo, ocorre uma permutação de 4 elementos, P(4).
Em cada um desses casos, a posição de A se repete com outro A, pois AA é o mesmo que AA. Então, em cada um dos 24 casos ocorre repetição, por exemplo PATA e PATA. Logo, reduz-se pela metade a quantidade de casos, ou seja, dividimos por P(2) = 2.
- A(4,2) = 4! / (4-2)! = 12
Um arranjo de 4 posições para 2 letras (P e T). Usado arranjo pois a ordem importa. A posição dos demais elementos não importa {A,A}. Ou seja, jogamos com a posição dessas duas letras para 4 espaços.
C(4,2) * C(2,2) =
Todos os casos de anagramas deste exercício:
PTAA, TPAA, APTA, ATPA, AAPT, AATP,
PATA, TAPA, APAT, ATAP,
PAAT, TAAP
Os demais anagramas podem ser demonstrados de maneira análoga.
b) C(9,4) * C(5,3) = 1260 anagramas
c) Considerando Á como A. Desconsiderando o acento:
A(10,3) * C(7,3) * C(4,2) = 151.200 anagramas
Consideramos
- 10 posições para 3 elementos distintos [ arranjo de 10 posições para 3 elementos]
- 7 posições para 3 elementos iguais {A,A,A}
- 4 posições para 2 elementos iguais {M,M}
Inicialmente farei apenas esse primeiro exercício