Question

Use derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva
$x ^{2} + xy + y^{2} = 3$
no ponto (1,1)

Por favor, alguém me ajuda com essa questão.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{f(x)=2-x}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja um ponto $(x_0,~y_0)$ pertencente a uma curva $\mathcal{C}$. A equação da reta tangente à esta curva neste ponto é dada por: $f(x)=y_0+y'(x_0)(x-x_0)$, em que $y'(x_0)$ é o valor da derivada da equação da curva no ponto $x=x_0$.

Seja a curva:

$x^2+xy+y^2=3$

Devemos encontrar a reta tangente a esta curva no ponto $(1,~1)$.

Primeiro, calculemos a derivada em ambos os lados da equação, sabendo que $y=y(x)$.

$(x^2+xy+y^2)'=(3)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de um produto é dada pela regra do produto: $(g(x)\cdot h(x))'=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$.
• A derivada implícita da função $y=y(x)$  é calculada de acordo com a regra da cadeia. Ex: $(y^n)'=y'\cdot n\cdot y^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma e calcule a derivada da constante

$(x^2)'+(xy)'+(y^2)'=0$

Aplique a regra do produto

$(x^2)'+(x)'\cdot y+x\cdot (y)'+(y^2)'=0$

Aplique a regra da potência e da cadeia

$2x+1\cdot y+x\cdot y'+2y\cdot y'=0$

Fatore a expressão, utilizando $y'$ como fator comum em evidência

$2x+y+(2y+x)\cdot y'=0$

Subtraia $2x+y$ em ambos os lados da equação

$(2y+x)\cdot y'=-2x-y$

Isole $y'$

$y'=-\dfrac{2x+y}{2y+x}$

Então, calculamos o valor desta derivada no ponto $x=1$

$y'(1)=-\dfrac{2\cdot1+1}{2\cdot 1 +1}$

Multiplique e some os valores

$y'(1)=-\dfrac{2+1}{2+1}\\\\\\\ y'(1)=-\dfrac{3}{3}\\\\\\\ y'(1)=-1$

Este é o coeficiente angular da reta tangente à equação desta curva. Substituindo estes termos na equação da reta tangente, teremos:

$f(x)=1+(-1)\cdot(x-1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f(x)=1-x+1$

Some os valores

$f(x)=2-x$

Esta é a equação da reta tangente a esta curva neste ponto.