Question

Quanto vale sen x / 1-cox ?

Answer 1

Existe uma fórmula para o arco metade da tangente, que é a seguinte :

$\displaystyle Tg(\frac{x}{2}) = \frac{1-Cos(x)}{Sen(x)}$

invertendo os dois lados temos :

$\displaystyle \frac{1}{Tg(\displaystyle \frac{x}{2})} = \frac{Sen(x)}{1-Cos(x)}$

Portanto :

$\fbox {\displaystyle Cotg(\frac{x}{2}) = \frac{Sen(x)}{1-Cos(x)} }$

Não sei se é para provar, então vou deixar a prova aqui.

Sabendo que :

$\displaystyle Tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}$

Vamos multiplicar lá dentro por (1-cos(x)) em cima e embaixo :

$\displaystyle Tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{[1-cos(x)].[1-cos(x)]}{[1+cos(x)].[1-Cos(x)]}} \to Tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{[1-Cos(x)]^2}{1-Cos^2(x)}}$

$\displaystyle Tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{[1-Cos(x)]^2}{1-Cos^2(x)}} \to Tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{[1-cos(x)]^2}{sen^2(x)}}$

$\displaystyle Tg(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{[1-cos(x)]^2}{sen^2(x)}} \to \fbox{\displaystyle Tg(\frac{x}{2}) = \frac{1-Cos(x)}{Sen(x)} }$