Question

a derivada de primeira ordem da função y=R(x)=(6x³+2x+8)² é

Answer 1

Temos a seguinte função:

$y = R(x) = (6x {}^{3} + 2x + 8) {}^{2}$

Primeiramente vamos lembrar que o termo "Derivada de primeira ordem" não é nada mais nada menos que a derivada primeira de uma função, ou seja, derivar a função uma única vez.

Se você observar temos uma função composta, a primeira está dentro do parêntese (chamaremos de "u") e a outra que é essa mesma função "u" ao quadrado (no caso é R(x)), então:

$u = 6x {}^{3} + 2x + 8 \: \: \: e \: \: \: R(x) = u {}^{2}$

Como trata-se de uma função composta, vamos usar a regra da cadeia, que é dada por $\boxed { \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} . \frac{du}{dx} }}$, essas funções são genericamente da regra, no nosso caso é:

$\frac{d}{dx} R(x) = \frac{d}{du} R(x). \frac{du}{dx}$

Substituindo os dados nos seus devidos locais:

$\frac{d}{dx}R(x) = \frac{d}{du}u {}^{2} . \frac{d}{dx} (6x {}^{3} + 2x + 8)$

A derivada da soma de várias funções é igual a soma das derivadas de cada uma dessa funções, em palavras matemáticas: $\boxed{ \boxed{\frac{d}{dx} (f(x) \pm g (x)) = \frac{d}{dx} f(x) \pm g(x)}}$, aplicando:

$\frac{d}{dx} R(x) = \frac{d}{du} u {}^{2} . \left(\frac{d}{dx} 6x {}^{3} + \frac{d}{dx}2x + \frac{d}{dx}8 \right)$

Agora é só resolver pela regra da potência que é bastante conhecida:

$\frac{d}{dx} R(x) = 2u.(18x {}^{2} + 2 + 0) \\ \\ \frac{d}{dx} R(x) = 2u.(18x {}^{2} + 2) \: \: \: \: \: \: \: \:$

Repondo a expressão que representa de "u":

$\frac{d}{dx} R(x) = 2.(6x {}^{3} + 2x + 8).(18x {}^{2} + 2) \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \frac{d}{dx} R(x) = (12x {}^{3} + 4x + 16).(18x {}^{2} + 2}}}$

Espero ter ajudado