Escreva as Raizes Abaixo na Forma de potência com expoente fracionário:
A) \sqrt{5}
5
B) \sqrt[3] {4}^{2}
3
4
2
C) \sqrt[3] {3}^{7}
3
3
7
D) \sqrt[5]{4.6}
5
4.6
E) \sqrt[7] {5}^{3}.{5}^{2}
7
5
3
.5
2
F) \sqrt[3] ({3}^{2})^{5}
3
(
3
2
)
5
Muito Obrigado ♡
Respostas
Resposta:
A radiciação, assim como todas as operações do conjunto dos números reais, possui seu inverso, ou seja, quando pegamos um elemento e operamos com seu inverso, o resultado é igual ao elemento neutro.
A adição possui a subtração como operação inversa, a multiplicação possui a divisão como operação inversa, e a potenciação também vai possuir sua operação inversa, que é denominada de radiciação.
Como as demais operações, a radiciação também possui uma série de propriedades, vejamos.
Raiz quadrada e sua operação inversa na calculadora.
Representação da radiciação
A radiciação é uma operação em que buscamos um número que satisfaz determinada potência. Considere os números a e b números reais e n um número racional, definimos a raiz n-ésima de a como sendo um número que, quando elevado a n, seja igual ao número a, nesse caso, representado por b, ou seja:
Exemplos
a) A raiz quadrada de 36 é igual a 6, pois 62 = 36.
Veja que, para determinar a raiz quadrada de 36, devemos buscar um número que, quando elevamos ao quadrado, seja igual a 36. Logicamente, esse número é o 6.
b) A raiz cúbica de 125 é igual 5, pois 53 = 125.
c) Agora vejamos a raiz décima de 1024. Como não se trata de um número trivial, a melhor saída é realizar a decomposição em fatores primos do 1024 e, em seguida, escrevê-lo na forma de potência.
Veja que o número 1024 = 210, assim o número que, elevado a 10º potência, resulta em 1024 é o número 2, ou seja:
Nomenclatura da radiciação
Considerando a raiz n-ésima anterior, temos a seguinte nomenclatura:
a → Radicando
n → índice
b → raiz
√ → Radical
Propriedades da radiciação
Assim como na potenciação, temos algumas propriedades na radiciação. Nesta a história é a mesma, uma vez que ambas são operações inversas.
Propriedade 1: Raiz em que o expoente do radicando é igual ao índice
A propriedade 1 afirma que, sempre que o índice for igual ao expoente do radicando, o resultado da raiz n-ésima é a própria base.
Exemplos
Propriedade 2: Potência de expoente radical
A propriedade 2, na verdade, é uma propriedade de potenciação em que o expoente é uma fração. O numerador da fração passa a ser o expoente do radicando, e o denominador passa a ser o índice da raiz. Veja um exemplo:
Leia também: Potências de base 10 — o fundamento da notação científica
Propriedade 3: Produto de raízes de índices iguais
A propriedade 3 afirma que o produto entre duas raízes com índices iguais é igual à raiz de mesmo índice do produto dos radicandos.
Propriedade 4: Quociente de raízes de índices iguais
De maneira análoga à propriedade 3, a propriedade 4 afirma que a divisão entre duas raízes de índices iguais é igual à raiz de mesmo índice da divisão dos quocientes.
Veja também: Raiz quadrada: a radiciação com o índice 2
Propriedade 5: Potência de uma raiz
A propriedade 5 diz-nos que uma raiz n-ésima elevada a um determinado expoente m é igual à raiz n-ésima do radicando elevado ao expoente.
Propriedade 6: Raiz de outra raiz
Quando nos depararmos com uma raiz de outra raiz, basta conservar o radicando e multiplicar os índices das raízes.
Propriedade 7: Simplificação de raízes
A propriedade 7 afirma que, em uma raiz n-ésima de uma potência, podemos multiplicar o índice e o expoente do radicando por qualquer número desde que seja diferente de 0.
Acesse também: Redução de radical ao mesmo índice
Exercícios resolvidos
Questão 1 – Determine a raiz quadrada de 1024.
Solução
No exemplo do texto, temos a fatoração do número 1024, que é dada por:
1024 = 210
1024 = 2 (5 · 2)
1024 = (25)2
Portanto, a raiz quadrada de 1024 é:
0,11
0,12
0,1
0,09
0,1