Question

Como calcular a raiz de 2.

Por favor, se possível colocar a resolução da conta.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\sqrt{2}\approx\dfrac{577}{408}\approx1.41421\cdots}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para calcularmos uma aproximação para $\sqrt{2}$, utilizaremos o método de Newton-Raphson.

Observe que $1<2<4$. Ao retirarmos a raiz quadrada em ambos os lados das desigualdades, teremos: $1<\sqrt{2}<2$.

Considere um polinômio $f(x)$ cujas soluções sejam $\pm~\sqrt{2}$. Neste caso, escolhemos um dos quadrados perfeitos próximos da raiz desejada para realizarmos iterações.

O método consiste em sucessivas iterações que realizam a aproximação do valor numérico desejado utilizando a reta tangente ao gráfico em pontos cada vez mais próximos da solução desta função.

Escolhemos o polinômio $f(x)=x^2-2$.

Cada iteração respeita a fórmula:

$x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$, em que $f'(x_n)$ é o valor numérico da derivada da função $f(x)$ no ponto $x=x_n$.

Então, calculamos a derivada da função:

$f'(x)=(x^2-2)'$

Lembre-se:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(x^2)'-(2)'$

Aplique a regra da potência e da constante

$f'(x)=2x$

Agora, escolhemos um dos valores para iniciarmos a iteração. Seja $x_0=2$, de forma que façamos uma aproximação por excesso. Teremos:

$x_1=2-\dfrac{2^2-2}{2\cdot2}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_1=2-\dfrac{4-2}{4}$

Some os valores e simplifique a fração

$x_1=2-\dfrac{2}{4}\\\\\\ x_1=2-\dfrac{1}{2}$

Some as frações

$x_1=\dfrac{3}{2}$

Veja que temos a primeira aproximação $\sqrt{2}\approx \dfrac{3}{2}=1.5$.

Realizamos a próxima iteração com $x_1=\dfrac{3}{2}$

$x_2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-2}{2\cdot\dfrac{3}{2}}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\dfrac{9}{4}-2}{3}$

Some os valores e simplifique a fração

$x_2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\dfrac{1}{4}}{3}\\\\\\ x_2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{12}$

Some as frações

$x_2=\dfrac{17}{12}$

Veja que temos a segunda aproximação $\sqrt{2}\approx \dfrac{17}{12}\approx1.41666\cdots$

Realizamos a próxima iteração com $x_2=\dfrac{17}{12}$

$x_3=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\left(\dfrac{17}{12}\right)^2-2}{2\cdot\dfrac{17}{12}}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x_3=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\dfrac{289}{144}-2}{\dfrac{17}{6}}$

Some os valores e simplifique a fração

$x_3=\dfrac{17}{12}-\dfrac{\dfrac{1}{144}}{\dfrac{17}{6}}\\\\\\ x_3=\dfrac{17}{12}-\dfrac{1}{408}$

Some as frações

$x_3=\dfrac{577}{408}$

Veja que temos a terceira aproximação $\sqrt{2}\approx \dfrac{577}{408}\approx1.41421\cdots$

Esta é uma ótima aproximação para esta raiz.