Question

Determine, usando a definiçao, a derivada de f(x) = √x em x = 4

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{f'(4)=\dfrac{1}{4}~~\checkmark}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos calcular a primeira derivada da função utilizando a definição de derivada por limite.

Lembre-se que, dada uma função $f(x)$ derivável, sua derivada pode ser calculada por: $f'(x)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$.

Então, seja a função $f(x)=\sqrt{x}$, derivável em $\mathbb{R}^+_*$. Devemos calcular o valor de $f'(4)$, por meio da definição.

Assim, para determinarmos este valor, fazemos $x=4$ e calculamos o seguinte limite: $f'(4)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(4+\Delta x)-f(4)}{\Delta x}$.

Substituindo as expressões na definição, teremos:

$f'(4)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{4+\Delta x}-\sqrt4}{\Delta x}$

Calcule a raiz

$f'(4)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{4+\Delta x}-2}{\Delta x}$

Multiplique o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do numerador

$f'(4)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{4+\Delta x}-2}{\Delta x}\cdot\dfrac{\sqrt{4+\Delta x}+2}{\sqrt{4+\Delta x}+2}$

Aplique a propriedade do produto da soma pela diferença e multiplique as frações

$f'(4)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{4+\Delta x-4}{\Delta x\cdot(\sqrt{4+\Delta x}+2)}$

Cancele os termos opostos

$f'(4)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\Delta x}{\Delta x\cdot(\sqrt{4+\Delta x}+2)}$

Simplifique a fração por um fator $\Delta x$

$f'(4)=\underset{\Delta x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{\sqrt{4+\Delta x}+2}$

Então, sabendo que a função é contínua em $x=4$, calcule o limite aplicando a propriedade $\underset{x\rightarrow c}\lim~f(x)=f(c)$.

$f'(4)=\dfrac{1}{\sqrt{4+0}+2}$

Some os valores e calcule o radical

$f'(4)=\dfrac{1}{\sqrt{4}+2}\\\\\\ f'(4)=\dfrac{1}{2+2}$

Some os valores

$f'(4)=\dfrac{1}{4}$

Este é o valor da derivada desta função no ponto desejado.